21.1 二次根式 同步练习 2025—2026学年 华东师大版九年级数学上册

21.1二次根式培优提升训练华东师大版2025一2026学年九年级数学上册 一、选择题 1.下列二次根式中，最简二次根式是(. A.3 B.√0.3 D.√m 2.设√5=a,√1=b,则√5×√0.11可以表示为() B.10ab c. D. b 10 3.若√ā是最简二次根式，则a的值可以是() A.20 B.-13 D.11 4.计算27× 1 的结果是() A.9 B.3 C.-3 D.5 5.下列各式中，一定能成立的是() A.x2-9=x+3.x-3 B.Ja=(Va) C.√x2-2x+1=x-1 D.V2.5)=2.5i 6.下列各三角形中，面积为无理数的是() D.2 P /15 7.下列各数与2-√5相乘，结果为有理数的是() A.V5+2 B.2-V5 C.-2+√5 D.3 8.若a>0,把 -4a° 化成最简二次根式为(). A台 B. 2a ab C._24ab D.2abab b b 二、填空题 9.已知二次根式√23-a与√⑧化成最简二次根式后，被开方数相同.若a是正整数，则a的 最小值为 10.计算： V-2×5= 根号外面的因式移到根号里面化简的结果是】 12.己知9+x-√3-x=2,则√9+x+√3-x= 三、解答题 13.计算： (1)⑧+√5x6; a5-2+唱 14.定义：我们将a+√b)与(a-)称为一对“有理式”.因为 a+b)(a-历)=（a-()=a-b,通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根 号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决. 例如：已知√⑧-x-√3-x=1,求√⑧-x+√3-x的值，可以这样解答： 因为8-x-3-x×8-x+3-x=(8-x-(3-x=8-x-3+x=5,所以 √⑧-x+V3-x=5. 已知：√22-x+V6-x=8,求： (1)①求代数式√22-x-√6-x中x的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合己知条件和第(1)问的结果，解方程：√22-x+√6-x=8; 15.一个三角形的三边长分别为√5，√6,3. ()求证：三角形是直角三角形： (2)求这个三角形的面积. 16.计算： (1)-2V15×4V6; ②w周 (3)6V27xy 20,少>0 (4)V18mn.√2m2n(m≥0，n≥0）； 64(名2可j220: (⑥)16ab.Va3-2a'b+ab2(a2b>0). 17.如图，从一个大正方形中裁去面积分别为18cm和32cm2的两个小正方形，求： 18cm2 32cm2 (1)阴影部分的长和宽； (2)阴影部分的面积， 18.阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平 方.如3+22=(1+V2,善于思考的小明进行了以下探索，若设 a+b√2=(m+n√2=m2+2n2+2√2mm(其中a,b,m,n均为整数)，则有 a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到一种把式子a+b√2化为平方式的方法.请你依照 小明的方法探索并解决下列问题： ()若a+b5=(m+n5,当a,b,m,n均为整数时，用含m,n的式子分别表示a,b ，得：a=,b= (2)若a+43=(m+n3,当a,m,n均为正整数时，求a的值； 参考答案 一、选择题 1.A 2.D 3.D 5.D 6.C 7.A 8.C 二、填空题 9.5 10.6 11.-√x-1 12.25 三、解答题 13.【解】(1)解：√8+5x6=25+32=5√2： ②解：5-2+545+4+595. 22-x≥0 14.【解】(1)解：①由二根式有意义的条件得到： 6-x≥0’ 解得x≤6， 即x的取值范围是x≤6； ②：(V22-x+V6-x22-x-6-x =(22-x}'-(6-x月 =22-x-6+x =16, 而√22-x+√6-x=8, √22-x-√6-x=2; (2)解：由(1)得√22-x-√6-x=2, 而√22-x+√6-x=8, 两式相加得到2√22-x=10, 即V22-x=5, 则22-x=25, 解得x=-3, 经检验，x=-3是原方程的根， 即方程√22-x+√6-x=8的解是x=-3; 15.【解】(1)证明：：(3)2+(6)2=9,32=9， (5)2+(6)2=32 三角形是直角三角形. (2)解：这个三角形的面积为：」 x5x6-32 16.【解】(1)解：原式=-8√5x6 =-8√90 =-8√9x0 =-24V10; (2)解： =2√50 =2V25×2 =102; (3)解：原式=6,9×3xy× y =18V3x2 =18V3x; (4)解：原式=√18×2xmn×m2n4 =v36m'n5 =6mn2√mn; )：凤式=4 5 3y×28x2y -9r 、 3×2v6 2 33: (6)解：原式=6abVa(a2-2ab+b2) -4Vab.Ma-b)2 =4a√ba-bl； a≥b>0, .0b≥0， 原式=4a5(a-b)=(4a2-4ab)Vb 17.【解】(1)解：：两个裁去的小正方形的面积分别为18cm2和32cm2, :.这两个裁去的小正方形的边长分别为V8=3√2cm和V32=4V2cm, :.阴影部分的长和宽分别为4√2cm和3√2cm; (2)解：由(1)可知阴影部分的长为4√2cm,宽为3√2cm, :.阴影部分的面积=2×3V2×4V2=24×2=48cm2). 18.【解】(1)解：：a+b√5=m+n5'=m2+5n2+2mnV5, a=m2+5n2,b=2mn, 故答案为：m2+5n2,2mn; (2)解：：a+4V5=(m+nV5=m2+3n2+2mnV5, :a=m2+3n2,2mn=4, mn=2, “m,n均为正整数， .m=1,n=2,p或m=2,n=1, 当m=1,n=2时，a=1+3×22=13, 当m=2,n=1时，a=22+3×12=7, 综上可知，a的值为13或7；