精品解析：2025年临沧地区学校云南省初中学业水平模拟检测（一）数学

机密★考试结束前 2025年临沧地区学校云南省初中学业水平模拟检测（一） 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 命题范围：人教版初中数学七上～九下，即中考数学范围 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 2. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的几种判定定理是解题的关键． 分别根据平行线的判定定理一一判断即可． 【详解】解：A、，则（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B、如下图，，，∴，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、如上图，，，∴，则（同旁内角互补，两直线平行），故符合题意； D、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 3. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题的关键．利用从正面看到的图叫做主视图判断即可． 【详解】解：A、主视图为圆，故本选项不符合题意； B、主视图为三角形，故本选项符合题意； C、主视图为矩形，故本选项不符合题意； D、主视图为正方形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：数据中136出现2次，其他数各出现1次，故众数136． 将数据从小到大排序：129，136，136，140，154，180． 数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均值，即． 综上，众数136，中位数138， 故选D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项法则，单项式除单项式运算法则，积的乘方，完全平方公式． 分别根据合并同类项法则，单项式除单项式运算法则，积的乘方，完全平方公式依次判断各选项是否正确即可求出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意． B、，原计算错误，故B不符合题意． C、，原计算正确，故C符合题意． D、，原计算错误，故D不符合题意． 故选：C． 6. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接交点，连接，可推出，，可证明是等边三角形，得到，，推出，在中，设，则，根据勾股定理即可求出，进而得到半径，即可求解． 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 8. 如图，用直尺和圆规作在内确定射线，点P是射线上一点，过点P分别作于点E，作于点F，若，则的长为（　　） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．根据作法可得平分，再由“角平分线上点到角两边的距离相等”，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴， 故选：B． 9. 一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征． 观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式． 【详解】将数据统一化为二次根式形式： 第1项：； 第2项：； 第3项：； 第4项：； 由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n， ∴这组数据的第n项是． 故选：C． 10. 若一元二次方程有两个实数根，则k取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可得：，再求解即可． 【详解】解：由关于的一元二次方程有两个实数根，可得： ， 解得：； 故选：C． 11. 如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 12. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为． 根据题意，得， 故选：C． 13. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， ． 故选A． 14. 若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 15. 过桥米线是云南省滇南地区的一种特色小吃，广受云南群众的喜爱．为了了解外地游客对过桥米线的喜爱程度，相关部门随机调查了部分游客的意见（A．不满意；B．一般；C．非常满意；D．较满意；E．不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C非常满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是120 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 到云南吃过桥米线的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 【答案】B 【解析】 【分析】由“C非常满意”人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得云南吃过桥米线的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D． 【详解】解：由条形统计图知：选择“C非常满意”人数最多，故A的结论正确，不符合题意； 抽取的人数中，口味“B一般”的人数为人，其占比为， ∴抽取的总人数为：（人）， ∴抽样调查的样本容量是，故B错误，符合题意； ∵“A不满意”的人数为， ∴样本中“A不满意”的百分比为，故C正确，不符合题意； ∵（人）， ∴到云南吃过桥米线的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数为人．故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，求样本容量，求扇形图中的百分比，样本估计总体，掌握用样本估计总体数量等知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可直接进行列式求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； 故答案为：． 17. 分解因式：3a2-3__． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【详解】3a2-3=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)； 故答案是；. 【点睛】本题考查的知识点是用提公因式法和公式法进行分解，解题关键是熟记因式分解的方法. 18. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 19. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则： 扇形的弧长为， ∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的运算、二次根式、负整数指数幂； 代入特殊角三角函数值，根据绝对值、二次根式和负整数指数幂的性质化简，然后计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据，，得出， ，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵，， ， ， ， ，即， 在和中 ， ． 22. 随着2025年“体重管理年”的正式启动，中国各地掀起减肥热潮，线下健身房、瑜伽馆、游泳馆等场所也迎来了客流高峰．某健身工作室第一次用12000元购进一款跑步机（如图），由于生意火爆，改进装修后，又用25000元第二次购进同款跑步机，所购数量是第一次购进数量的2倍，但单价贵了100元．求该健身工作室第一次购进跑步机多少台． 【答案】5台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设该健身工作室第一次购进跑步机台，则第二次购进同款跑步机台，利用单价总价数量，结合第二次购进跑步机的单价比第一次贵了100元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设该健身工作室第一次购进跑步机台，则第二次购进同款跑步机台． 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该健身工作室第一次购进跑步机5台． 23. 某校科艺节，九年级段长带着美食社成员举行义卖活动，制定促销方式如下：消费满20元可参与转盘抽奖活动，如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了三个扇形区域，其中标有“福气棉花糖”的扇形区域和标有“暴打柠檬茶”的扇形区域圆心角均为．转动转盘直至其自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）若转动转盘一次，求出可以领取任意一份奖品的概率． （2）若转动转盘两次，用树状图或列表法求转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，几何概率，画树状图或列表法求概率，掌握利用概率公式求概率的条件是解题的关键． （1）用中奖的圆心角之和除以，即可求解； （2）用“0”表示“谢谢惠顾”，用“1”表示“福气棉花糖”，用“2”表示“暴打柠檬茶”，由题意，可将转盘平均分成4个的扇形， 其中0占有2份，画树状图，得出所有等可能的结果数，和所求结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 标有“福气棉花糖”的扇形的圆心角为，标有“暴打柠檬茶”的扇形的圆心角为， 转动转盘一次，则中奖的概率是． 转动转盘一次，可以领取任意一份奖品的概率是． 【小问2详解】 用“0”表示“谢谢惠顾”，用“1”表示“福气棉花糖”，用“2”表示“暴打柠檬茶”， 由题意，可将转盘平均分成4个扇形，其中0占有2份， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果数，其中转动转盘两次后中奖恰好各一份的结果数是2种， 转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率为． 24. 如图所示，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形是性质以及矩形的判定与性质．熟记矩形与菱形的性质是解本题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形． （2）先求得，再求解，根据四边形是矩形，根据正弦的定义，求解，再结合平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，，， ∴, ，，， 四边形是矩形， ，．， ∴，， ， ∴． 25. 八年级某班计划购买 、 两种相册共 50 册作为毕业礼品，已知 种相册的单价比 种的多 10 元，买 4 册 种相册与买 5 册 种相册的费用相同． （1）求 、 两种相册的单价分别是多少元？ （2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知:购买的 种相册的数量不少于 种相册数量的一半，如何制定购买方案，使得总费用最少? 【答案】（1）A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元． （2）购买17册A种相册，33册B种相册，总费用最少 【解析】 【分析】（1）设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，根据“A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的一半”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可，再利用一次函数的性质解答即可； 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；再列总费用关于x的一次函数，利用一次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元， 依题意，得， 解得：． 答：A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元． 【小问2详解】 解：设购买A种相册x册，则购买B种相册册， 依题意，得：， 解得：． 设购买总费用为y元， 则 ∵， ∴随的减小而减小， ∵且为正整数， ∴当时，（册） ∴购买17册A种相册，33册B种相册，总费用最少． 26. 已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． （1）若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）若，求m值； （3）点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）是定值， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，①，②，进而可得，根据（2）可得③，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； 【小问2详解】 在的函数图像上， ， ， ， ， ，； 【小问3详解】 和在上， ①，②， 由②①得，， 在， ③， 由①③得，， ， ． 27. 如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． （1）求的度数． （2）如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理，得，运用得，即可作答； （2）①先得，再结合，，以及圆周角定理得证，运用勾股定理得，算出，结合等面积法，化简得，因为，故； ②延长交于点N，连结，先设，根据圆内接四边形以及邻补角互补得，再证明，，代入数值得，再证明∴，则，得， 结合，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵为直径， ∴，； 【小问2详解】 解： ①连结交于点M， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②延长交于点N，连结， ∵， ∴设， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵都是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内角四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★考试结束前 2025年临沧地区学校云南省初中学业水平模拟检测（一） 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 命题范围：人教版初中数学七上～九下，即中考数学范围 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保留． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用直尺和圆规作在内确定射线，点P是射线上一点，过点P分别作于点E，作于点F，若，则长为（　　） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 5 9. 一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. D. 11. 如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A B. C. D. 14. 若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 15. 过桥米线是云南省滇南地区的一种特色小吃，广受云南群众的喜爱．为了了解外地游客对过桥米线的喜爱程度，相关部门随机调查了部分游客的意见（A．不满意；B．一般；C．非常满意；D．较满意；E．不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C非常满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是120 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 到云南吃过桥米线的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 17. 分解因式：3a2-3__． 18. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______． 19. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 21. 如图，，，．求证：． 22. 随着2025年“体重管理年”的正式启动，中国各地掀起减肥热潮，线下健身房、瑜伽馆、游泳馆等场所也迎来了客流高峰．某健身工作室第一次用12000元购进一款跑步机（如图），由于生意火爆，改进装修后，又用25000元第二次购进同款跑步机，所购数量是第一次购进数量的2倍，但单价贵了100元．求该健身工作室第一次购进跑步机多少台． 23. 某校科艺节，九年级段长带着美食社成员举行义卖活动，制定促销方式如下：消费满20元可参与转盘抽奖活动，如图是一个可自由转动的转盘，该转盘被直径和半径分成了三个扇形区域，其中标有“福气棉花糖”的扇形区域和标有“暴打柠檬茶”的扇形区域圆心角均为．转动转盘直至其自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的内容即为抽奖结果，此时，称为转动转盘一次（若指针指向分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）若转动转盘一次，求出可以领取任意一份奖品的概率． （2）若转动转盘两次，用树状图或列表法求转动转盘两次后恰好两种奖品各一份的概率． 24. 如图所示，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的值． 25. 八年级某班计划购买 、 两种相册共 50 册作为毕业礼品，已知 种相册单价比 种的多 10 元，买 4 册 种相册与买 5 册 种相册的费用相同． （1）求 、 两种相册的单价分别是多少元？ （2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知:购买 种相册的数量不少于 种相册数量的一半，如何制定购买方案，使得总费用最少? 26. 已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． （1）若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； （2）若，求m的值； （3）点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 27. 如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． （1）求度数． （2）如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $