2025年广东省中学生夏令营数学测试（2）一试试题＋加试试题

2025.8.26 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试2 一试试题 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.给定正实数k,若非零向量花，满足k下+少+x少+少+=”，则实 数u的最小值为 2.已知正方体ABCD-ABC1D的边长为16，点X,Y,Z分别在边AB,BC,CC1上， 且满足AX=4,BY=12,CZ=8,则平面YZ截正方体ABCD-AB,C,D所得截面的面 积为 x≥0 3.平面坐标系xOy上满足 2+1-x2+1-y小s1的所有点（化功构成图形的面 y≤3-2x 积为 4。已知n+1项正整数数列4,4，an满足1=4。<41<.<4n=18000，且a-14 (1≤k≤n),则当n取最大值时，满足条件的不同的数列{an}的种数是 5.设复数u,v满足u+v=2,u2+v2|=28,则u+v|的最小值为 6.设非空集合T二{-9，-8，，-1,0,1,2，，9}满足minT·maxT=-T,则满足条件 的集合T的个数是一 7.函数f)=sin3x-12sin2x+19simx(x∈R)的值域是 1,91 8。不超过 42R 的最大整数是 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤： 9.(本小题满分16分)给定整数n≥2025，数列{x}满足x= + (k+1)2 (VkeN),实数a是方程a+2=l的根，试比较飞与a的大小并证明. 10.（本小题满分20分)已知一只跳蚤在七边形AB,B,B,CB,B,的七个顶点上跳跃， 初始时跳蚤在A点处，若跳蚤未到C点前，其每次均可以跳向与所在点相邻的两个顶点之 一；而当其到达C点时，该跳蚤便永久停留在C处，不再跳跃.则一共有多少种不同的跳 跃方式，使得该跳蚤最终停留在C点，且总跳跃数量不超过13次？ A B Bs B2 B4 B3 Ⅱ.（体小愿澜分20分）E知有西r5+长-1，点FB0.P30,远点P的 2516 直线I交T于X,Y两点. (1)求△YF内心的轨迹方程； (2)当△YF的内切圆半径最大时，求1的方程. 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试2 加试试题 一、（本题满分40分） 如图，在△ABC中，BC中点为M,弧BAC的中点为N.L为CN上一点，△LMW 的外心为O.证明：△LNO的外接圆与△ABC的A-鸡爪圆相切. 二、（本题满分40分） 给定整数n≥3，设x,x2,,xn是正实数，对整数1≤k≤n,记M=max{x}, =min{x},证明 五+4-Vm k(k+1) 台R 三、（本题满分50分） 给定正整数m,试求所有整数n,满足对任意正整数a,b,c,关于x的同余方程 nc+x=b(modc)均有无穷多个正整数解. 四、（本题满分50分） 给定正整数a,若正整数，n及存在一个恰镶嵌a枚金币的m×n方格表棋盘，这里每 枚金币恰镶嵌在不同的方格中心，使得若从该左上格至右下格按从左往右再从上往下标数 1,2,3,m,则任意连续n个数字的方格中必有一格裹嵌金币；若从该表左下格至右上格按 从下往上再从左往右标数1,2,3，n,也满足任意连续个数宇的方格中必有一格镶嵌金 币.求不同的这样的方格表棋盘数.