第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a·(a+3b)= ( )
A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.23
2.空间中,与向量a=(3,0,4)同向共线的单位向量e= ( )
A.(1,0,1) B.(1,0,1)或(-1,0,-1)
C.(
,0,
) D.(,0,)或(-,0,-)
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1B1C1D1的中心,若
=
+x
+y
,则x,y的值分别为 ( )
A.1,1 B.1,
C., D.,
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.已知空间三点O(0,0,0), A(-1,1,0), B(0,1,1), 在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 ( )
A.(-2, 2, 0) B.(2, -2, 0) C.(-,,0) D.(,-,0)
6.在正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面边长为2
,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,则点D'到平面B'EF的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
7.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB,则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 ( )
A.
B.
C. D.
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图1
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,点P在线段B1D1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sin α的取值范围是 ( )
A.[
,] B.[,] C.[
,] D.[
,]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是 ( )
A.直线l的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(2,1,-),则l与m垂直
B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
10.如图2,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面是边长为2的正方形,D,E分别是BB1,AC的中点,则下列结论成立的是 ( )
图2
A.直线A1D与直线BC是异面直线
B.直线BE与平面A1CD不平行
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C.直线AC与直线A1D所成角的余弦值等于
D.直线CD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于
11.如图3,在正方形ABCD中,点E,F分别是线段AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于G,EF在AB与CD之间从AB向CD滑动,但与AB和CD均不重合.在EF任一确定位置,将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,如图4所示,则下列选项中正确的是 ( )
图3 图4
A.∠AGC的角度不会发生变化
B.二面角G-AC-B先变大后变小
C.AC与平面ABFG所成的角变小
D.AC与EF所成的角先变小后变大
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为 .
13.已知A(0,0,-x),B(1,,2),C(x,,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且
=x
+2x
+4
,则x= ,与
的夹角为______.(本题第一空2分,第二空3分)
14.在中国古代数学著作《九章算术》中,鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图5(1),在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,AB=3,AC=4,现将△ABD沿AD
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