精品解析：四川省宣汉中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题

四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题．（每题5分，共40分） 1. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【详解】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 【详解】由题可知， 所以， 由余弦定理， 所以． ， ． 4. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解. 【详解】展开式的通项公式为（且） 所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为： 和 在中，令，可得：，该项中的系数为， 在中，令，可得：，该项中的系数为 所以的系数为 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 二、多选题．（共3题，18分） 9. 已知函数．则下列关于的说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 定义域为 C. 增区间为 D. 图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用整体法结合正切函数的性质分别对、、、进行判断. 【详解】解：因为函数， 对于：周期，所以正确， 对于：因为，即（），所以定义域为，所以错误， 对于：令，解得， 所以增区间为，所以正确， 对于：令，解得，所以图象的对称中心为， 所以错误， 故选：. 10. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ） A. BC⊥AD B. 点E到平面AMC的距离为 C. EM∥平面ACD D. 四面体ABCE的外接球表面积为5π 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，故A错误；对选项B，设点到平面的距离为，根据求解即可；对选项C，假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球表面积即可。 【详解】对选项A，在图1中，过作，如图所示： ， 因为，所以四边形是矩形， 因为，所以. 因为四边形是等腰梯形，，所以. 因为，所以. 连接，则， 因为，所以，得，则. 在图2中， 因为，，，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以平面. 若，又，，所以平面， 过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾， 故A错误； 由，，得，又， 所以，而， 因为到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由，得，即h＝，故B正确； 假设平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，所以平面平面， 与已知条件矛盾，故C错误； 对选项D，连接，如图所示： 因为，为直角三角形，且为的中点， 所以，即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球表面积为，故D正确. 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 三、填空题．（15分） 12. 若函数是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数是奇函数，得到，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数是奇函数，所以，解得， 当时，函数满足， 所以. 故答案为:. 13. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是________（只填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】将数据分别代入①②③④，即可得出答案. 【详解】将数据分别代入①②③④， x 2 2.99 4 5 y 4 8.02 15.99 32 ① 4 5.98 8 10 ② 1.5 3.97 7.5 12 ③ 1 1.58 2 2.32 ④ 4 7.94 16 32 由表格数据可知其中最接近的一个是④. 故答案为：④. 14. 已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题．（77分） 15. 已知函数． 求函数的递增区间； 当时，求函数的值域． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】首先利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间． 直接利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】函数． ， 由， 解得：， 所以函数的递增区间为； 因为， 所以， 则， 所以函数的值域为． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 16. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 【答案】（1）或； （2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设的方程为，、， 由，得，可知，． 直线、的斜率之和为 ， 所以，可知、的倾斜角互补，所以. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示 因为M，N在抛物线上，可设，，故，．而A，M，N共线，故，即，化简得．而M，N是不同的点，故，可得．这样．故． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得直线的方程为，从而得出点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）方法一：设直线的方程为，点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线、的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或． 所以直线的方程为或； （2）略 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法； 方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 17. 如图，直三棱柱的所有棱长均为2，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为直三棱柱的所有棱长均为2，分别是的中点， 所以，平面， 因为平面，所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直及面面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 则两两垂直. 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 易知,, 则， 设平面的法向量为, 则，取，可得. 设直线与平面所成角为， 则, 所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：； （3）设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值． 【答案】（1）和 （2）设，， 令得或者， 所以当时，，为增函数； 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值为， 所以，即，综上可得. （3） 【解析】 【分析】（1）首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； （2）由题意分别证得和即可证得题中的结论； （3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值. 【小问1详解】 ，令得或者. 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即； 综上可得所求切线方程为和； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以是中的较大者， 若，即时，； 若，即时，； 所以当最小时，，此时. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． （1）以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； （2）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的期望公式即可得到答案； （2）①记合格品的数量为X，则，设，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案； ②．两边同时取自然对数并整理得：令，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案. 【小问1详解】 估计合格率，则，； 【小问2详解】 ①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X，则， 所以，设， ， 因为，当时，在上位单调递增函数； 当时，在上位单调递减函数， 所以当时，有最大值，即p的极大似然估计值为． ②，则，，2，3，…，m 设：． 两边同时取自然对数并整理得： ， 令， ， ，时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减，． 所以时，最大，此时取得最大值． 因此，p的极大似然估计值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题．（每题5分，共40分） 1. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 6. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题．（共3题，18分） 9. 已知函数．则下列关于的说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 定义域为 C. 增区间为 D. 图象的对称中心为 10. 已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ） A. BC⊥AD B. 点E到平面AMC的距离为 C. EM∥平面ACD D. 四面体ABCE的外接球表面积为5π 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 三、填空题．（15分） 12. 若函数是奇函数，则______． 13. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一 x 2 2.99 4 5 6.02 y 4 8.02 15.99 32 64.01 个近似地描述这些数据的规律：①；②；③；④其中最接近的一个是________（只填序号） 14. 已知是椭圆：上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为_______. 四、解答题．（77分） 15. 已知函数． 求函数的递增区间； 当时，求函数的值域． 16. 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 17. 如图，直三棱柱的所有棱长均为2，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：； （3）设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值． 19. 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． （1）以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； （2）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $