2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试试题(A卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.若log,(9x),log(27x,log,(3x)成等差数列，则正数x的值为 2.设集合A=L,2,3,…,100},B={a2+2°|a∈，则AUB的元素个数 为 y 3设点P在脑圆众十，FE为的两个焦点，线段FP交 ,号+二=1于点Q.若△5PQ的周长为8，则线段F0的长度为 914 4.设函数fx)的定义域为R,gx)=(x-l)fx),h(x)=f(x)+x.若g(x) 为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 5.若正整数k满足 sin20° sin25° ∈R(i为虚数单位)，则k的最小 C0s250 cos20 值为 6.设工为任意四棱柱，在「的12条棱中随机选取两条不同的棱(，4，将事 件“1所在直线与1，所在直线平行”发生的概率记为P(T),则P(T)所有可能值 为 7.平面中的3个单位向量a,方，c满足a方=a+[.G(其中[x]表示不超 过实数x的最大整数)，则a+b+d的取值范围是 8.将1,2,3，…，9排列为ab,c,d,e,f,g,h,i,使得3个三位数abc,def,ghmi之和 等于2025，则不同的排列方法数为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 9.(本题满分16分)在平面直角坐标系xO中，点集 T={x,y)y2=2x+2 若T中的3个不同的点M,P,Q满足：M为PQ的中点，且OP.O0=-2,求点M 的坐标. 10.(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均 为2，P,Q分别是棱AB,AC上的动点（允许位于棱的端 点)，AP+AQ=2,M为棱AD的中点.在△MPO中， MH为PQ边上的高.求MH长度的最小值 11.(本题满分20分)设a为实数，m,n为正整数， 且sin mo.sin no≠0. 1 证明： sinmo sin na m.|sin ma.sin na+sin mno2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试（A卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次 2。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次， 第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.若log,(9x),1og(27x),1og27(3x)成等差数列，则正数x的值为 答案：9. 解设®=1，则2+3宁专成等差数列，即2+1-生-2号 3 2 解得t=2,故x=3=9. 2.设集合A={1,2,3,…,100},B={a2+2|a∈A,则AUB的元素个数 为 答案：194. 解：当a∈[0，o)时，a2+2关于a严格递增，故B=A=100(X表示有 限集X的元素个数).又12+2=3>1,6+26=100，故A∩B=6. 所以AUB=A+B-A∩B=100+100-6=194. 3设点P在椭题工芬+云1上，名为，的两个生点，线段FP交椭园 ,。+宁于点Q.若△2PO的周K为8，酸段O的K度为 答案：V14+1. 解：由于√25-20=V14-9,故E,E是1与，的公共焦点. 由椭圆的定义知P+PF=10,№+l2=214，即 P+PE =10-lorl,oF =2v14-o. 所以10+2W14-22F=Pg+|PF+leF=8,即线段F2的长为14+1. 4.设函数f(w)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h()=f(x)+x.若g(x) 为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 答类： 解：对任意x∈R,有0=，即-Df化0任-/， h(-)=h(x,’即lf(-)-x=f)+x 所以(x-1)f(x)=(x+1)f(-x)=(x+1)(f(x)+2x). 因此/网=+》-号-，当x=时，网取到最大值 5.若正整数k满足 Sin20° sin 250 ∈R(i为虚数单位)，则k的最小值 cos250 c0s20° 为 答案：18. 解：由于 sin20°+in25° sin20°cos20°+sin25°c0s25°.i_sin40°+sim50°，i c0s25°T Cos20° c0s20°cos25° 2cos20°c0s25° 2c0s20°c0s250(c0s50°+sin50°-）， 1 故 sin20° sin 25 (2c0820°c0s25y(cos50k°+sn50k°.)， 1 c0s25° c0s20° 上式为实数当且仅当sin50k°=0，即185k,故所求k的最小值为18. 6.设为任意四棱柱，在Γ的12条棱中随机选取两条不同的棱4,1，将事件 “1所在直线与1，所在直线平行”发生的概率记为P(),则P①)的所有可能值 为 答案： 573 33’3311 解：记T为ABCD-AB,CD,则AB∥AB,BC∥B,C,CD1∥CD,DA∥DA, 且AA∥BB,∥CC∥DD,并且底面上的棱与侧棱不平行. 考虑底面ABCD的形状，当两组对边都不平行时，P心)=C×4+C= 33 当ABCD为梯形时，PID=Cx2+C+C=7:当4BCD为平行四边形时， Ci 33 PT)-C1G+C-3.因EP0的所有可谁值为573 11 3333’11 7.平面中的3个单位向量a,b,c满足ab=[ac+[b·c(其中[x)表示不超 过实数x的最大整数)，则a+b+c的取值范围是 答案：{1U(5,V2+1]. 解：由asa-1及a-i=ad+b-d∈z,可知a-6e(-1,0. 若a-i=1,则a=b,此时[ac+[bd=2[ac为偶数，不可能为l,矛盾. 若a-b=-1,则五=-a,此时a+6+-回=1（相应的例子存在，例如c 与a的夹角为锐角时，由-1<-b.c<0<a.c<1知[ad+[6c=-1=ab). 若a-b=0,不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sim0),0∈[0,2m). if(0)=[a.c]+[b.c]=[cos0]+[sin0]. 2 当0=0或号时，f=1≠0，当9c52时，f0<0,均不合要求. 当90引时，@=0，满足要求，此时 a+B+c=+cos0)2+(1+sin0) 3-25ang+ ∈(5，V2+1. 综上，a+不+的取值范围是U(5,V2+. 8.将1,2,3，，9排列为a,b,c,d,e,f,g,h,i,使得3个三位数abc,def,ghi之 和等于2025，则不同的排列方法数为 答案：1944. 解：记A=a+d+g,B=b+e+h,C=c+f+i. 由条件知A+B+C=1+2+3+.+9=45,且100A+10B+C=2025. 注意到C为5的倍数，且1+2+3≤C≤9+8+7，故C=15. 从而A+B=30,且100A+10B=2010.解得A=19,B=11. 满足A=19,B=11且{a,d,g}与b,e,)是1,2,3，，9}的两个不交的集合 的情形，恰有如下连线所表示的9种，每种情形均使集合{c,f,}随之确定，再考 虑到a,d,g的次序，b,e,h的次序，c,f,i的次序分别有3！=6种选择，故所求排 列方法数为9×63=1944. (a,d,g) (b,e,h) {2,8,9} •{1,2,8} {3,7,9}X7{1,3,7} {4,6,9} {1,4,6} {4,7,8} …{2,3,6} {5,6,8} {2,4,5} 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9.（本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，点集 P={x川y2=2x+2x 若T中的3个不同的点M,P,Q满足：M为PQ的中点，且OP.OQ=-2,求点M 的坐标 解：根据条件，是x轴负半轴与抛物线2：y2=4x的并集.…4分 假如P,Q均在x轴负半轴上，则OP.O9>0,与OP.OQ=-2矛盾. 假如P,Q均在2上，则PQ的中点M不可能在2上，且M也不可能在x轴 负半轴上，与M∈矛盾. 因此，可不妨设P在x轴负半轴上，Q在抛物线2上，易知此时M在2上. 设P(a,0),2(b,2b),M(,2m),其中a<0,b,m∈R. 由M为P0的中点知+=2m,放口-2， 2b=4m, b=2m. 所以Op.O0=ab2+0=-8m. …12分 由-8d=2得m=±竖，故点w的坐标为刻行或日-列 2 …16分 10.(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均为2，P,Q分别是棱 AB,AC上的动点（允许位于棱的端点)，AP+AQ=2,M为棱AD的中点.在 △MPQ中，MH为PQ边上的高.求H长度的最小值. B ,0 C 解法1：设AP=1-t,AQ=1+t(-1≤t≤1). 由∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°及AM=1,可知 MP=V1+1-)2-1-)=V1-t+, M0=V1+1+)2-1+)=V1+t+, P9=√1-)2+1+)2-1-01+0=V1+3. 因此cos∠PM0=MP+M0-Pg3_1-f ，进而 2MP.MO 2MP.MO 2SAMPe =MP.MO sin/PMO =MP.MO-(MP.MO.Cos LPMO) V31+) 2 所以MH= …10分 PO 2W1+3t2 由基本不等式得 MH= 1 2v3 3 当+3F=5,即1=士5时，MH取到最小值 …20分 3 3 解法2：取点M在平面ABC上的射影N,则有MH≥MN.…5分 取点D在平面ABC上的射影O.由正四面体的性质知O为正三角形ABC的 中心，又由M为AD的中点知N为AO的中点.从而 …10分 4 P B 下面证明存在P,Q的适当位置，使得点N,H重合. 让动点P从AB的中点P出发沿AB边向点B运动，点Q从AC的中点9出 发沿CA边向A运动，始终保持AP+AQ=2,记PQ与AO的交点为T,则最初 T为线段P2与AO的交点，在线段NO上，最终T重合于A,故在运动过程中存 在一个时刻，T与N重合，对该时刻的P,Q,由W⊥平面ABC知N⊥PQ于 点N,即N,H重合.此时M取到最小值 …20分 3 11.（本题满分20分)设a为实数，m,n为正整数，且sima·sima≠0. 证明： sin ma sin na 7m·S1n7mma·1nna+s1nna 证明：不等式两边乘以m:sina·sinna+|sinnma,化简为 msinno+m sinma+ Isinmmasinmma1. sin mo sin na 事实上，我们证明 sin nino max msin no, >1 ① sinna 记x=a.存在整数k,使得k≤x<(k+1)m,记 x。=min{x-kr,(k+1)π-x}, 则0≤6≤行 易知 sinna sinxo, ② sinmna=sin mx=sin mx. ③ 由丁mm20,由②如。≠0，故0<6≤号 若0<x< 则0<x。≤x。<T-x<π，故由②、③知 m+1 sin na=sin x <sin mxo=sinmna, 即sinme≥l. …10分 sin no m十≤气号则对x∈0引，利用mt的上马性易知m之二，放 若 2 mlsinne-msinmsin mm222 +1Tm+1 这就证明了①，从而原不等式得证. …20分