精品解析：云南省玉溪市红塔区第四中学2025—2026学年九年级上学期数学开学试卷

玉溪第四中学2025-2026学年上学期开学检测 初三数学试题卷 （本试卷共三个大题，27个小题，共8页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，再根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握“利用最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键． 2. 已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15° ∴∠C=5×15°=75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符号题意； B、∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性. 【详解】A. ： 二次根式相加时，被开方数需相同才能合并.与的被开方数不同，无法直接相加，故A错误. B. ： 根据二次根式除法法则，，而，故B错误. C. ： 合并同类项，，而，故C错误. D. ： 根据二次根式乘法法则，，因此，故D正确. 故选：D. 4. 如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取的中点M，N，测得，则A，B两点间的距离是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：，的中点分别是M，N， 是的中位线， ， 故选：A． 5. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的值． 【详解】解：解：因为9个数据从小到大排列后的第5个数是这9个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前5． 故选：C． 【点睛】考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提． 7. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：B． 8. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ） A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，根据各图形对角线的性质进行判断，熟练掌握各图形的对角线的性质是解题的关键 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分， 菱形的对角线平分且互相垂直， 正方形的对角线垂直、平分且相等， 故选：C 9. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 10. 已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D. 若点，在此函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质，平移规律，函数值比较进行分析即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由，， ∴图象经过第一、二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、当时，，故图象经过点，原选项正确，不符合题意； 、函数由向上平移个单位得到，而非向下平移，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 11. 乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按的比例计算最终成绩，则他的素质测试的最终成绩为（ ） A. 67分 B. 68分 C. 70分 D. 72分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义及计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解： （分）， 故选：B． 12. 图中的折线表示一汽车离出发地的距离单位：与行驶时间单位：之间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 汽车共行驶了 B. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 C. 出发，距出发地最远 D. 汽车在行驶途中停留了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．计算往返路程之和即可判断A选项；根据平均速度路程总时间计算即可判断B选项；根据图象判断即可判断C选项；根据图象计算即可判断D选项． 【详解】解：汽车共行驶了， A选项不正确，不符合题意； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为， B选项不正确，不符合题意； 出发，汽车重新回到距出发地， C选项不正确，不符合题意； 汽车在行驶途中停留了， D选项正确，符合题意． 故选：D． 13. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即，， 则可判断四边形是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形； 故选：A． 14. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 15. 若，则a的值估计在（ ） A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值估计在7到8之间． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 所以的取值范围是． 故答案为：． 17. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 18. 如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 19. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分) 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简及实数的混合运算，需熟练掌握几类比较特殊的运算法则． 根据特殊运算∶ ，，及其他运算规则，即可求解． 【详解】解：原式 ． 21. 在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 22. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94： 八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，84，87； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可） 【答案】（1）83，，20； （2） 解：八年级掌握人工智能知识比较好， 理由：八年级的中位数、众数分别高于七年级的中位数、众数，说明八年级学生掌握的较好． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数． （1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形统计图和组得分可得求出m和b； （2）根据平均数，众数和中位数的意义． 【小问1详解】 解： 七年级10人中83出现的次数最多，故众数． 八年级C组人数：， 八年级D组人数：， 八年级B组人数：4， 故八年级A组人数：， ，即． 八年级成绩排在第5和第6位的是83和84，故中位数 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 已知实数、满足， （1）求的值； （2）试比较的值与3的大小． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小． （1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可； （2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 24. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）69 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，萎形的判定，证得是关键； （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是平行四边，再证明，则可得，继而证得结论； （2）根据菱形的性质得，，，再证，利用勾股定理表示，再结合菱形面积公式即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 即 在中，， ． 菱形的面积为， 菱形的面积为． 25. 拉布布（）盲盒凭萌趣设计火遍潮玩圈，是年轻人追捧的收藏新宠，稀缺隐藏款更是“一盒难求”．某商家借着这股潮玩热度，决定采购一批盲盒上架销售，采购时得知；购买2个隐藏款和5个普通款共需2300元；购买3个隐藏款和2个普通款共需2680元． （1）请算出拉布布隐藏款和普通款的单价分别是多少？ （2）该商家计划总共购买60个盲盒（隐藏款+普通款），为吸引顾客，隐藏款的数量不少于普通款的．怎样采购才能让总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）拉布布隐藏款的单价为元，普通款的单价为元； （2）采购隐藏款10个，普通款50个总费用最低，最低费用是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设拉布布隐藏款的单价为x元，普通款的单价为y元，根据题意列方程组计算即可； （2）设隐藏款的数量为a个，求出a的取值范围，设总费用为w，求出w的函数解析式，进而根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：拉布布隐藏款的单价为x元，普通款的单价为y元， 由题意可知 解得 ∴拉布布隐藏款的单价为元，普通款的单价为元； 【小问2详解】 设隐藏款的数量为a个，则普通款的数量为个 ∵隐藏款的数量不少于普通款的， ∴ 解得 ∵总共购买60个百盒（隐藏款+普通款）， ∴ ∴ 设总费用为w， 则 ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最低费用，最低费用为（元） 即采购隐藏款10个，普通款50个总费用最低，最低费用是元． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式及代数式求值. （1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由（1）得，结合可得，再利用整体思想解题即可. 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中得： ， 解得， 即一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ，则有，即：， ，， ∴， 27. 综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（ ） A． B． C． D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，求的长． 【答案】（1）C； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接． 正方形中，， 又，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又． ， 在和中， ， ， 故选：C． （2）略 （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得： ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 28. 把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 【答案】 用数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是学会在数轴上表示有理数，根据数轴的性质，进行有理数大小的比较，即可． 【详解】解：用“”表示为：． 29. A、B两地间的公路全长375千米．甲、乙两辆货车从两地同时相向而行，经过3小时两车相遇．如果甲货车的速度是65千米/时，乙货车的速度是多少千米/时． 【答案】60千米/时 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设乙货车的速度是千米/时，根据A、B两地间的公路全长375千米，经过3小时两车相遇．甲货车的速度是65千米/时，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：乙货车的速度是千米/时， 依题意，， 解得， ∴乙货车的速度是千米/时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪第四中学2025-2026学年上学期开学检测 初三数学试题卷 （本试卷共三个大题，27个小题，共8页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取的中点M，N，测得，则A，B两点间的距离是（　　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 6. 我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4.5cm D. 5cm 8. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（ ） A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 每条对角线平分一组对角 9. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D. 若点，在此函数图象上，则 11. 乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按的比例计算最终成绩，则他的素质测试的最终成绩为（ ） A. 67分 B. 68分 C. 70分 D. 72分 12. 图中的折线表示一汽车离出发地的距离单位：与行驶时间单位：之间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 汽车共行驶了 B. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 C. 出发，距出发地最远 D. 汽车在行驶途中停留了 13. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 14. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 若，则a的值估计在（ ） A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 17. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 18. 如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是________． 19. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分) 20. 计算：． 21. 在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量米，米，米，米，求空地的面积． 22. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94： 八年级10人的得分在组中的分数为：83，84，84，87； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可） 23. 已知实数、满足， （1）求的值； （2）试比较的值与3的大小． 24. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 拉布布（）盲盒凭萌趣设计火遍潮玩圈，是年轻人追捧的收藏新宠，稀缺隐藏款更是“一盒难求”．某商家借着这股潮玩热度，决定采购一批盲盒上架销售，采购时得知；购买2个隐藏款和5个普通款共需2300元；购买3个隐藏款和2个普通款共需2680元． （1）请算出拉布布隐藏款和普通款的单价分别是多少？ （2）该商家计划总共购买60个盲盒（隐藏款+普通款），为吸引顾客，隐藏款的数量不少于普通款的．怎样采购才能让总费用最低？最低费用是多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的值． 27. 综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（ ） A． B． C． D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，求的长． 28. 把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 29. A、B两地间的公路全长375千米．甲、乙两辆货车从两地同时相向而行，经过3小时两车相遇．如果甲货车的速度是65千米/时，乙货车的速度是多少千米/时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $