第一章《特殊的平行四边形》 单元复习试卷 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第一章《特殊的平行四边形》 综合复习试卷（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．①处可填AD＝CB B．②处可填AD⊥AB C．③处可填∠A＝90° D．④处可填AD＝AB 2．如图，在菱形ABCD中，∠D＝50°，E，F分别为边AB，CD上的两个动点，连接CE，AF．当四边形AECF为矩形时，∠BCE的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．50° 3．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ADB＝40°，则∠AOB的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 4．如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 5．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．5 B． C．10 D． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB、AC、BC向外作正方形，面积依次分别记为S1、S2、S3，若阴影部分面积为12，则S3+S2﹣S1的值为（　　） A．48 B．40 C．36 D．32 8．如图，在▱ABCD中，AC＝BD．再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD 9．实验基地有一块正方形地，现用篱笆分成三块培育三种花苗（如图所示），E，F分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺寸，所需栅栏AB，EF的总长为（　　） A．8m B．16m C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：①BE⊥CF；②AP＝a；③．则上述结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点D是斜边AB的中点，则CD＝ 　 　 ． 12．已知平行四边形ABCD，请再添加一个条件，使平行四边形ABCD成为矩形，则可添加的条件是　 　 （写出一种即可）． 13．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠BPC＝　 　 °． 14．如图，点O为菱形ABCD的对称中心，连接OC，，连接EO并延长交边BC于点F，则四边形OCDE的面积为　 　 ． 15．如图，点E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，正方形ABCD和正方形AEFC有一个公共顶点A，连接DG，BE． 求证：DG＝BE． 17．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在边BC，DC上，连接AM，AN，延长AN交线段BC的延长线于点E，∠E＝∠BAM，若AD＝5，CM＝2，求DN的长． 18．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形． 20．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，△OAB是等边三角形，OA＝6． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求四边形ABCD的面积． 21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A是满足什么条件时，四边形BECF是正方形，说明理由． 22．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ． （1）求证：四边形BPEQ是菱形； （2）若AB＝6，F为AB的中点，OF＝4，求菱形BPEQ的周长． 23．如图，C是BE的中点，四边形ACED是矩形． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）求证：∠B＝∠DAE． 24．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案． 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为　 　 ． 解：如图2，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． ∵四边形ABCD是正方形，边长为6， ∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°． ∵BC＝3BE，BE＝CF， ∴BE＝CF＝2， ∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6）． 设直线AE的表达式为y＝ax+b， 则，解得， ∴直线AE的表达式为y＝﹣3x+6． 设直线BF的表达式为y＝cx，则2＝6c，解得， ∴直线BF的表达式为． 由得， ∴． ∵O为BD中点， ∴O（3，3）， ∴． 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系． 任务： （1）上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有　 　 （多选）． A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．转化思想 （2）请用“坐标法”解答以下问题： 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝DF＝4，G为EF的中点，连接AC，BD相交于点O，连接OE交CD于点H，连接GH，求GH的长． 25．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝2，DF＝3，则EF＝ 　 　 ；在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝1，FD＝1.5，则EF＝ 　 　 ； 归纳证明： （2）在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A C B A B D D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．5． 12．AC＝BD（答案不唯一）． 13．67.5． 14．． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AD＝AB，AG＝AE， ∠DAB＝∠GAE＝90°， ∴∠DAB﹣∠GAB＝∠GAE﹣∠GAB， 即∠DAG＝∠BAE， ∴△DAG≌△BAE（SAS）， ∴DG＝BE． 17．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠DAN＝∠E， ∵∠E＝∠BAM， ∴∠DAN＝∠BAM， ∴△BAM≌△DAN（ASA）， ∴BM＝DN， ∵AD＝5，CM＝2， ∴DN＝BM＝BC﹣CM＝5﹣2＝3． 证明：∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂线， ∴DE⊥BC， 又∵AC⊥BC， ∴DE∥AC， 又∵D为BC中点，DF∥AC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴E为AB边的中点， ∴CE＝AE＝BE， ∵∠BAC＝60°， ∴△ACE为正三角形， ∵∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°，而AF＝CE，又CE＝AE， ∴AE＝AF， ∴△AEF也为正三角形， ∴∠CAE＝∠AEF＝60°， ∴AC平行且等于EF， ∴四边形ACEF为平行四边形， 又∵CE＝AC， ∴▭ACEF为菱形． 19．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB， ∴∠ADC＝90°， ∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠CAE＝∠FAE， ∵∠FAC＝∠B+∠ACB， ∴∠FAC＝2∠B， ∴∠FAE＝∠B， ∴AE∥CD， ∵AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． 20．（1）证明：∵△AOB为等边三角形， ∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴BD＝AC， ∴平行四边形ABCD为矩形； （2）解：∵△AOB为等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∵平行四边形ABCD为矩形， ∴AC＝2OA＝12，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝12， ∴， 故四边形ABCD的面积为． 21．（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下： ∵四边形BECF是菱形， 则∠FBE＝2∠EBC， ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠FBE＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 即当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形． 22．（1）证明：∵PQ垂直平分BE， ∴QB＝QE，OB＝OE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PEO＝∠QBO， 在△BOQ与△EOP中． ， ∴△BOQ≌△EOP（ASA）， ∴PE＝QB， ∵AD∥BC， ∴四边形BPEQ是平行四边形， ∵QB＝QE， ∴四边形BPEQ是菱形； （2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF＝4， ∴AE＝8， 设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y． 在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2， 解得：y， ∴菱形BPEQ的周长＝25． 23．证明：（1）∵四边形ACED是矩形， ∴AD∥CE，AD＝CE． ∵C是BE的中点， ∴BC＝CE， ∴BC＝AD． ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）∵四边形ACED是矩形， ∴AE＝CD，AD∥CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB． 又∵AD∥CE， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠B＝∠DAE． 24．解：（1）根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想， 故选：BCD； （2）以O为原点，过O点平行于BC的直线为x轴，建立平面直角坐标系． ∵CE＝DF＝4， ∴E（8，﹣4），F（4，8）． ∵G为EF的中点， ∴G（6，2）． 设直线OE的表达式为y＝kx，由题意可得： 得8k＝﹣4，解得， ∴． 令x＝4得y＝﹣2， ∴H（4，﹣2）． ∴． 25．解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵点G是CD延长线上的点，且DG＝BE， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠GAF＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝5， 故答案为：5； 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图2所示： ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝30°， ∴∠DAG+∠DAF＝30°， 即∠GAF＝30°， ∴∠GAF＝∠EAF＝30°， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝1，FD＝1.5， ∴EF＝2.5， 故答案为：2.5； （2）图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系是：EF＝BE+FD，证明如下： 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图3所示： ∵∠ADG+∠BDC＝180°，∠B+∠BDC＝180°， ∴∠ADG＝∠B， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF∠BAD， ∴∠DAG+∠DAF∠BAD， 即∠GAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF∠BAD， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DG+FD＝BE+FD， ∴EF＝BE+FD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $