精品解析：2025年河北省盐山县第七中学初中学业水平模拟测试数学试卷

2025年河北省初中学业水平模拟测试数学试卷 一、单选题 1. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（ ） A. 大洋洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D. 南美洲 2. 下列式子计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 4. 已知，则“”处的数字为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 7. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 二、填空题 13. 如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 14. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 15. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点横坐标是_____________． 16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为_____． 三、解答题 17. 已知整式，，若． （1）求整式C； （2）将整式C因式分解； （3）整式，比较整式C和整式D的大小． 18. 在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； （1）填空：①______；②______；③______； （2）请将化简后的结果求值． 19. 为加强学生的生活防火安全教育，某校从九年级学生中随机抽取了若干名学生进行问卷测试，并根据问卷测试结果，绘制成如下统计图表． 学生得分统计表 等级 E D C B A 得分t/分 人数 m 20 n 30 10 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空： ______， ______． （2）计算A等级所对应的圆心角的度数． （3）学校从得分最高a，b，c三名学生中随机抽取两名学生上台对生活防火安全意识和生活防火安全措施两个方面进行演讲，请用画树状图或列表的方法，求a学生被抽中的概率． 20. 如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） （1）求漏斗口处点到底座的高度； （2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 21. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 22. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 23. 设计“脚手架”支杆长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟测试数学试卷 一、单选题 1. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（ ） A. 大洋洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D. 南美洲 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确比较方法． 几个负数，绝对值越大，其值反而越小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴最低海拔最小的大洲是亚洲．   故选：C ． 2. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是． 【详解】解：粒粟的重量大约为克， 一粒粟的重量约为． 故选：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键． 4. 已知，则“”处的数字为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式． 计算，求出的系数即可． 【详解】 ∴“”处的数字为 故选：D 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可得，结合，，，即可得出，进而得出AD的长是方程的一个正根． 【详解】由题意可知：设，根据勾股定理得： ， 整理得：， 则该方程的一个正根是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、勾股定理，数形结合是解题的关键． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房．据此求客房和客人的数量．下列说法错误的是（　　） A. 设客房有间，则 B. 设客人有人，则 C. 设客房有间，客人有人，则 D. 客房间，客人人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组． 根据题意得出方程或方程组并解出未知数的值，即可解答． 【详解】解：A、设客房有间，则，故A选项正确； B、设客人有人，则，故B选项错误； C、设客房有间，客人有人，则，故C选项正确； D、由C选项列出的二元一次方程组解得，即客房间，客人人，故D选项正确； 故选：B． 7. 下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 8. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作EH⊥BD于点H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BE•sin30°= ，EH=BE•cos30°=，则GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质得：EG=AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC， 又∵∠C=60°， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=4， 又∵DG=BG， ∴， ∴BG=3， 设BE=x，则EG=AE=4-x， 在Rt△EHB中， ∠HEB=90°-60°=30°， ∴BH=BE•sin30°=， EH=BE•cos30°=， ∴GH=3-， 在Rt△GEH中，由勾股定理得： ， 解得：x=， 即BE=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 9. 已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 10. 如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和等知识，连接，得，由圆内接四边形的性质得，由点是的中点得，进而得，再由三角形的内角和定理得，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 12. 如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，三线合一，结合斜边上的中线以及全等三角形的性质，得到，进而得到，求出，进而求出，推出，证明为等边三角形，求出，证明，推出，作作，设，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出长，求出，即可． 【详解】解：∵与是两个全等的等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点作， 则：， 在中，， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故选项C正确，不符合题意； 作，设， ∵， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 二、填空题 13. 如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长为：， ∵， ∴，即， ∴向右滚动2周后点A所处的位置在4与5之间，即， ∴． 故答案为：14． 14. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况， 所以，恰好是一男一女的概率是． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，点坐标规律探索，根据题意推导一般性规律是解题关键． 先找到直线与轴的交点，根据正方形的性质确定的坐标，以此类推，得出、的坐标，根据点的坐标变化总结出的坐标规律，即可求解． 【详解】解：令，解得：， ， 四边形正方形， ； 当时，， ； 当时，， ， …… 观察规律发现，，，，……，， 的横坐标是． 故答案为：． 16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，根据平行四边形得到，，再根据平行线间距离处处相等得到，最后根据反比例函数得到求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴，， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 已知整式，，若． （1）求整式C； （2）将整式C因式分解； （3）整式，比较整式C和整式D的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把与代入中，合并即可确定出； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）利用作差法比较与大小即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及整式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； （1）填空：①______；②______；③______； （2）请将化简后的结果求值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解； （2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ∵，， ∴且， ∴只能取1， 则当时，原式． 19. 为加强学生的生活防火安全教育，某校从九年级学生中随机抽取了若干名学生进行问卷测试，并根据问卷测试结果，绘制成如下统计图表． 学生得分统计表 等级 E D C B A 得分t/分 人数 m 20 n 30 10 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空： ______， ______． （2）计算A等级所对应的圆心角的度数． （3）学校从得分最高的a，b，c三名学生中随机抽取两名学生上台对生活防火安全意识和生活防火安全措施两个方面进行演讲，请用画树状图或列表的方法，求a学生被抽中的概率． 【答案】（1）10；30 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分百求出总人数，再根据C等级的圆心角，求出C等级的人数，即可求出n的值，然后求出m的值即可； （2）根据乘以百分比，求出结果即可； （3）根据题意先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴A等级所对应的圆心角的度数为； 小问3详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵有6种等可能的结果数，其中a学生被抽中的有4种情况数， ∴a学生被抽中的概率为：． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和统计表，画树状图或列表法求概率，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点，根据题意画出树状图． 20. 如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） （1）求漏斗口处点到底座的高度； （2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解； （2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 延长交，则， 在中，，则， ∴， ∴点到底座的高度； 【小问2详解】 过点作，交于，过点作， 由题意可知，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为， 即玻璃棒顶端点到桌面的距离为． 21. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】（1）依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 （2），，， （3）2 【解析】 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可； （3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【小问1详解】 解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； 小问2详解】 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ， ， ； 【小问3详解】 解：弦切角， 由（2）可知：， ， 为直径， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 22. 苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】（1）此圆弧形拱桥半径为 （2）该船不能安全穿过桥洞，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； 【小问2详解】 该船不能安全穿过桥洞，理由如下： 如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 23. 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 【答案】任务1：；任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米；任务3：“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式． 任务1：由题意可得出顶点的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点的坐标代入即可求出； 任务2：根据任务1中解析式可得出当时对应的值，两个值相减即可得出水平距离； 任务3：设点坐标为，列出关于的解析式，由函数的性质求最大值即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， （米， 点，点， 根据题意和图象可得，顶点的坐标为， 可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 任务2：当时，， 解得， （米， 两根支撑柱之间的水平距离为6米； 任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米， 则，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， “脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 24. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形．理由见解析； ，理由见解析； 或． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $