第5章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第5章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 (a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 是一次函数，故选项不符合题意； B．不是二次函数，故选项不符合题意； C．不是二次函数，故选项不符合题意； D．是二次函数，故选项符合题意； 故选：D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向下 B．有最小值，最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴交于正半轴 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可逐一判断，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、， ∴函数图象开口向上，故选项不符合题意； B、函数的对称轴为：， ∵函数图象开口向上， ∴当时，函数最小值为：，故选项不符合题意； C、函数图象开口向上，函数的对称轴为：， ∴当时，随的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，， ∴函数图象与轴交于负半轴，故选项不符合题意； 故选：C． 3．已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． 由可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，的对称点为，当时，y随x的增大而增大，即得． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴的对称点为， ∵，， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 4．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是，故选项D正确， 故选：D． 5．函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确． 故选：D． 6．已知抛物线（、、为常数，且）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0… 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与轴的两个交点间的距离是4；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程.也考查了二次函数的性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 ，则可对②进行判断；利用 可判断抛物线开口向上，则可对①进行判断；利用抛物线与轴的交点问题得到当 时，抛物线在轴下方，则可对③进行判断； 由于对应的函数值比对应的函数值小，根据二次函数的性质得到 则可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线经过点和, ∴抛物线的对称轴为直线所以②正确； ∵当， ∴抛物线开口向上，所以①正确； ∵抛物线经过点和,抛物线在轴上， 即抛物线与轴的两个交点间的距离是；所以③正确； 若，是抛物线上两点，则，所以④错误； 故选: B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了求抛物线的对称轴．把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：直线． 8．用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，运用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，将点的坐标代入函数的解析式中，即可求得k的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故答案为：． 10．抛物线与坐标轴的交点有 个． 【答案】3 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，求出抛物线与x轴的交点，令，求出抛物线与y轴的交点，即可解答． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为，； 令，则， ∴抛物线与y轴交点为， 综上所述，抛物线与坐标轴的交点有3个． 故答案为：3 11．将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．熟练熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．用规律求平移后的函数解析式，是解决问题的关键． 直接根据平移规律作答即可． 【详解】∵抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位， ∴， 故答案为：． 12．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，关键是数形结合思想的应用． 由二次函数的图象直接得出结论． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在x轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 13．如图，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间满足二次函数关系，已知铅球出手处A点离地面，铅球运动到最高位时离地面高度和水平距离都是，则铅球推出的水平距离是 m． 【答案】/ 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意设与的函数解析为，代入A点坐标即可求得的值，再令，解出方程即可解题． 【详解】解：由题意得，顶点坐标为， ∴设与的函数解析为：， 由题可知：A点坐标为：，将其代入得：， 解得：， 与的函数解析为：， 由题意令得：， 解得：，（舍去）， 铅球推出的水平距离是， 故答案为：． 14．抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 15．如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移6个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，则四边形是矩形， ∵抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点， ∴，， 将抛物线向下平移个单位长度得抛物线， 则， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴=． 故答案为：． 16．已如抛物线（、、是常数），其图象经过点，坐标原点为．若抛物线与轴交于点（且不与重合），交轴于点且，则 ． 【答案】或 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题考查了二次函数的表达式，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数的交点式． 首先求出抛物线与y轴的交点坐标为．然后根据得到点B的坐标为或，然后利用交点式分别设出抛物线的表达式，然后展开和比较得到或，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵抛物线与轴交于点（且不与重合），交轴于点且， ∴点B的坐标为或 ∵图象经过点 ∴当点B的坐标为时， 设抛物线解析式为 ∵抛物线 ∴ ∴； ∴当点B的坐标为时， 设抛物线解析式为 ∵抛物线 ∴ ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 18．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 19．已知二次函数． (1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 【答案】(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的特征的解题的关键． （1）利用配方法以及待定系数法解决问题即可； （2）利用图象法结合二次函数的性质即可判断． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线的开口向下， 时，随增大而减小，时，随增大而增大． ， ． 20．如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点坐标为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征， （1）由点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：把、分别代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． ， 顶点坐标为． （2）解：由图可得当时，． （3）解：、， ． 设，则， ， ． ①当时，，解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，方程无解； 综上所述，点坐标为或． 21．已知二次函数． … 0 1 3 … … 2 …    (1)填写表中空格处的数值． (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据表格和图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)答案见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别将，0，1代入，得到对应的y的值，将代入，得到符合题意的x的值，即得答案； （2）由表格中得到点，，，，，经过这些点画曲线，即得所求图形； （3）由图可知，当时，y的取值在至3之间（包括3，不包括），即得答案． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 解得，（舍去）； 故可填写下表： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）根据上表，这个二次函数的图像如下图所示：    （3）根据表格、图象，当时，y的取值范围是． 故答案为：； 22．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克元，公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）． (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围． (2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到元，则销售单价x应定为多少元？ (3)设每天销售该特产的利润为w元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价x应定为元 (3)当时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由图象知，当时，；当时，待定系数法求解即可，最后进行作答即可； （2）由题意知，，由，可知，则，计算求出满足要求的解即可； （3）设利润为，当时，，然后求最值并作答即可． 【详解】（1）解：由图象知，当时，； 当时，设， 将代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 综上所述，； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意舍去），， 答：销售单价x应定为元； （3）解：设利润为， 当时，， ∵，， ∴当时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 23．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)在轴上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何综合等知识．. （1）把代入抛物线求出的值即可； （2）连接，交抛物线对称轴于点，根据两点之间线段最短可得结论； （3）确定点D的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，可得点E的坐标，根据三角形面积公式求出，设点的坐标为，得，求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解： 当时，， ， 连接，交抛物线对称轴于点，连接，此时的值最小， 的最小值为， ， 的最小值为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得 所以，直线的解析式为， ， ∴， 当时，， 点的坐标为， ； 设点的坐标为， ， 点在轴上方的抛物线上，即， ，即， 解得:， 满足条件的点的坐标为或． 24．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．    (1)求该抛物线的解析式． (2)求该抛物线的顶点坐标． (3)斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度． 【答案】(1) (2) (3)米 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将点代入抛物线，进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，再作答即可． （3）过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，证明是的一条中位线，然后求出点的坐标为．再求出点的坐标为，则，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为； （3）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，   ． ∵点的坐标为， ，． 是的中点，是的中点， 是的一条中位线， ，， ∴点的坐标为． ∵直线轴， ∴三点共线， 将代入， 得， ∴点的坐标为， ∴， （米）， 答：这棵树的高度是米． 25．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图象法解一元二次不等式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象在x轴上方的部分对应的x范围，即可作答； （3）根据二次函数的增减性，即可作答； （4）根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【详解】（1）解∶∵二次函数图象的顶点为， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵或时，二次函数的值大于0， ∴不等式的解集为或； （3）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围为； （4）解：由函数图象可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴直线与二次函数有两个交点， ∴k的取值范围为， 故答案为：． 26．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)，； (2) (3)她当天的比赛能成功完成此动作． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； （2）解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 27．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线的函数表达式为，点P的坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解； （2）连接，设，由，利用二次函数的性质即可求解； （3）作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线的解析式，把点G的坐标代入直线解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴ （2）解：对于，令，则， ∴； ∵， ∴； 连接，设， ∵点P在第四象限， ∴， ∴ ， 当时，S有最大值； （3）解：如图，作关于直线的对称线段，连接，设中点为G， 则，； ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴； 设，， 则点G的坐标为； 设直线的解析式为，其中， 把点A、C的坐标代入解析式中，得：， 解得：； 即直线的解析式为； 把点G的坐标代入直线解析式中，得， ∴； ∴； ∵ ∵， ∴， 解得：或（舍去）， 则， 即点P的坐标为； 设直线的函数表达式为， 把A、P坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 二次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向下 B．有最小值，最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴交于正半轴 3．已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是 5．函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线（、、为常数，且）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0… 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与轴的两个交点间的距离是4；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的对称轴是 ． 8．用配方法将二次函数化为的形式为 ． 9．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 10．抛物线与坐标轴的交点有 个． 11．将抛物线向上平移4个单位长度，向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是 ． 12．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 13．如图，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间满足二次函数关系，已知铅球出手处A点离地面，铅球运动到最高位时离地面高度和水平距离都是，则铅球推出的水平距离是 m． 14．抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线解析式为 15．如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移6个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 16．已如抛物线（、、是常数），其图象经过点，坐标原点为．若抛物线与轴交于点（且不与重合），交轴于点且，则 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知是关于的二次函数，求的值． 18．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 19．已知二次函数． (1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)若是二次函数图像上的两个点，且，请比较与的大小． 20．如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21．已知二次函数． … 0 1 3 … … 2 …    (1)填写表中空格处的数值． (2)画出这个二次函数的图象； (3)根据表格和图象，当时，y的取值范围是______． … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … 22．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克元，公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）． (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围． (2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到元，则销售单价x应定为多少元？ (3)设每天销售该特产的利润为w元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)在轴上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．    (1)求该抛物线的解析式． (2)求该抛物线的顶点坐标． (3)斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度． 25．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)求二次函数的解析式； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小时自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 26．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 27．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$