8.6.3 平面与平面垂直 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§8.6.3 平面与平面垂直 §8.6 空间直线、平面的垂直 高中数学人教A版必修第二册 第八章 立体几何初步 面面垂直的判定定理 01 2025-2026学年 高一数学 PART 情境引入 根据面面垂直的定义，判断两平面是否垂直需要将二面角测得为 请问有什么更为简便的方法判定面面垂直？ 观察① 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面。这种方法说明了什么道理? 观察② 如图，教室的门在开关的过程中，门与地面是什么位置关系？无论在什么位置都是一样的吗？这种现象说明了什么道理？ （注意：门轴与地面、门轴与门面、门面与底面） 探究新知 观察前面两幅图可以发现： 这种方法告诉我们，铅垂线是一定垂直于地面的，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直； 门无论转到哪个位置都是垂直于地面的，而“不同位置的门面”它们的共同特点是都经过了门轴所在直线，而门轴是地面的的一条垂线。 猜想：如果一个平面经过另一面的垂线，那么这两个平面互相垂直 已知： 求证： 设垂直于的垂足为，那么 ,,,即与有公共点，即与相交 再设, 是与的公共点， 过在内作 ,, ,垂足为 是二面角的平面角， , ,即° 学习新知 图形语言 简记口诀 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 面面垂直的判定定理 线面面面垂直 应用新知---教材 例1:如图，在正方体中，求证:平面 平面 证明：∵是正方体， ∴平面， ∴. 又，， ∴平面，而平面， ∴平面平面. 应用新知-教材 例2:如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点. 求证：平面平面. 证明：∵平面，平面, ∴. ∵点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径， ∴，即， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面，∴平面平面. 典例精析 例3.如图,在正四棱柱中,,为的中点, 证明:平面平面. 解： 因为 所以, 所以, 所以, 又⊥平面,平面, 则⊥ 因为, 所以平面, 又平面, 所以平面平面. 8 归纳总结 1.关键： 在利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择. 2.步骤： 面面垂直证明的步骤与关键 平面与平面垂直的性质定理 02 PART 情境引入 观察① 观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？ 观察② 如图，设，.则内任意一条直线与 有什么位置关系? 相应地，与有什么位置关系?为什么? 已知面面垂直，根据已有经验，先研究先研究其中一个平面内的直 线与另一个平面具有什么位置关系 探索新知 观察前面两幅图可以发现： 由①得：墙面的直线可能与地面相交、也可能与地面平行，还可能在地面 这个平面内（交线）； 由②得：显然，与 平行或相交； 当时， ; 当与相交时，与也相交 特别地： 当时，如图，设与的交点为， 过点在 内作直线， 则直线，所成的角就是二面角的平面角. 由知，， 又因为，和是内的两条相交直线， 所以 学习新知 图形语言 理解关键 ①线在平面内；②线垂直于交线 符号语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 面面垂直的性质定理 面面垂直线面垂直 应用新知-教材 证：如图，过点作，垂足为. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面， ∴. 又， ∴平面. 例3.如图，已知平面，平面平面求证：平面. 导学大书98页 归纳总结 应用步骤:面面垂直 线面垂直 应用类型：①证明线面垂直、线线垂直 ②作线面角或作二面角的平面角 3.注意：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条 垂线,通常是找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可 应用面面垂直的性质定理的策略 性质定理 定义 判定定理 判定定理 性质定理 复习整理 证线线垂直的方法：1.勾股定理逆定理 （求三边) 2.等腰(边)三角形的中线也是高，垂直于底边； 3.异面直线所成的角为90°； 4.线面垂直的定义； 5.三垂线定理及逆定理； 深入思考 探究1：设平面平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线 与平面具有什么位置关系？ 如图，设， 过点在平面内作直线， 根据平面与平面垂直的性质定理， . 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直， 所以直线与直线重合， 因此. 深入思考 探究2：对于面面垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的 特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你 又能得到哪些结论？ 证：在内作垂直于与交线的直线. ∵， ∴. 又， ∴， 又， ∴. 即直线与平面平行. 例1.如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系. 垂直于同一平面的直线和平面平行（ ） 结论1 P163页习题10 法一： 例2.已知平面、、满足，,求证： 深入思考 法二： 例2.已知平面、、满足，,求证： 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线 垂直于这个平面 . 结论2 [P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (1)求证：AM⊥面PCD. 证明：等边△PAD中，∵M为PD的中点，∴AM⊥PD. 正方形ABCD中，CD⊥AD， 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AM⊂面PCD，∴CD⊥AM. ∵CD∩PD=D，CD, PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD. 教材例题 (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 4.面面垂直的性质定理 [P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 证明：取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF. 则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF ⊥BC； ∵PE∩EF=E，PE, EF⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF. ∵PF⊂面PEF，∴BC ⊥P F. 又∵EF ⊥BC， ∴∠PFE是面PBC与面ABCD所成二面角的平面角. 等边△PAD中，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD. ∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴PE⊥面ABCD. ∵BC⊂面ABCD，∴PE⊥BC. 24 A B C D E F M N G 4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1. (1)求四棱锥S-ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. 解：（1）直角梯形ABCD的面积是 M底面= ， ∴四棱锥S-ABCD的体积是 4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1. (1)求四棱锥S-ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. (2)提示： 因所求二面角无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明∠BSC为平面角. back 4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1. (1)求四棱锥S-ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. back （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE， 则SE是所求二面角的棱， ∵AD∥BC，BC=2AD， ∴EA=AB=SA， ∴SE⊥SB， ∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB， ∴BC⊥面SEB，故SE是SC在面SEB上的射影， ∴SC⊥SE，以∠BSC是所求二面角的平面角， ∵ ， ∴ ， 即所求二面角的正切值为 。 练 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是________________. 45°或135° 归纳总结 应用步骤:面面垂直 线面垂直 应用类型：①证明线面垂直、线线垂直 ②作线面角或作二面角的平面角 3.注意：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条 垂线,通常是找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可 应用面面垂直的性质定理的策略 活页P86-P88 预习下一节（选做） 作 业 30 $