8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过教室黑板与地面垂直、长方体中平面垂直等情境导入，引导学生从直观感知到归纳定理，构建线线、线面、面面垂直关系的转化脉络，辅以自我诊断题搭建学习支架。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，通过情境问题激发数学眼光，典型例题如四棱的锥中证明线面垂直，结合通性通法总结垂直关系转化，培养学生的空间观念和逻辑推理能力。同时，分层练习和跟踪训练帮助学生巩固知识，为教师提供了系统的教学资源，提升教学效率。

第2课时　平面与平面垂直的性质 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过 直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系 直观想象 2.归纳出平面与平面垂直的性质定理 逻辑推理 目录 数学·必修第二册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也 与地面垂直. 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD. 【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？ 目录 数学·必修第二册 知识点　平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面 的 ，那么这条直线与另一个平面 ⁠ 符号 语言 α⊥β，α∩β＝l， ， ⇒a⊥β 图形 语言 交线　 垂直　 a⊂α　 a⊥l　 目录 数学·必修第二册 提醒　（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线 在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质 是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面 垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 【想一想】 如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？ 提示：正确. 目录 数学·必修第二册 1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　） A. α∥γ B. α⊥γ C. α与γ相交但不垂直 D. 以上都有可能 解析：　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面 都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D. 目录 数学·必修第二册 2. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M， 作ME⊥AB于E，则（　　） A. ME⊥平面ABCD B. ME⊂平面ABCD C. ME∥平面ABCD D. 以上都有可能 解析：　∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME⊂平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故选A. 目录 数学·必修第二册 3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与 n的位置关系是 ⁠. 解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α， 所以m∥n. 平行 目录 数学·必修第二册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 垂直关系的相互转化 【例1】　已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个 命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； ②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为（　　） A. ①② B. ③ C. ②③ D. ①②③ 目录 数学·必修第二册 解析：　对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直 线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直 线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不 能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长 方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直 线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确. 目录 数学·必修第二册 通性通法 垂直关系的转化 　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关 系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下： 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则 下列命题中正确的是（　　） A. 若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C. 若m⊥β，m∥α，则α⊥β D. 若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ 解析：　由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因 为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又 m'⊂α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D. 目录 数学·必修第二册 题型二 平面与平面垂直的性质及应用 【例2】　（2024·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外 一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点. 求证：（1）PE⊥平面ABCD； 证明：因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD. 目录 数学·必修第二册 （2）平面PBE⊥平面ABCD. 证明：由（1）知PE⊥平面ABCD， 又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 面面垂直 线面垂直 线线垂直. 由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个 平面内；②直线必须垂直两平面交线. 2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平 面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中， 作交线的垂线. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1. 证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形， 因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形， 所以B1C⊥BC1， 又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1， B1C⊂平面BCC1B1， 所以B1C⊥平面A1BC1， 因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1. 目录 数学·必修第二册 题型三 空间垂直关系的综合应用 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点. 求证：（1）PA⊥平面ABCD； 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线 AD，所以PA⊥平面ABCD. 目录 数学·必修第二册 （2）BE∥平面PAD； 证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边 形，所以BE∥AD. 又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD. 目录 数学·必修第二册 （3）平面BEF⊥平面PCD. 证明：由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD， 所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 目录 数学·必修第二册 通性通法 1. 熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的 相互转化是解题的常规思路. 2. 垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键， 再利用线线垂直证明. 目录 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE 的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC. （1）求证：AM⊥平面EBC； 目录 数学·必修第二册 解：证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面 ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM. 因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝ C，所以AM⊥平面EBC. 目录 数学·必修第二册 （2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值. 解：取AB的中点F，连接CF，EF. 因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC， 平面ACDE∩平面ABC＝AC， 所以EA⊥平面ABC， 因为CF⊂平面ABC， 所以EA⊥CF. 又AC＝BC，所以CF⊥AB. 因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB， 所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角. 在Rt△CFE中，CF＝ ，FE＝ ， tan∠CEF＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 1. 下列命题中错误的是（　　） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平 面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：　如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都 垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中 命题错误. 目录 数学·必修第二册 2. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD， 且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　） A. 平行 B. 共面 C. 垂直 D. 不垂直 解析：　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝ BC，AD＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平 面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂ 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C. 又CC1⊂平面 AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C. 目录 数学·必修第二册 3. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 ⁠. 45° 解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°. 目录 数学·必修第二册 4. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥ 平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC. 目录 数学·必修第二册 证明：因为平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC， PA⊂平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC， 所以PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A， AB，PA⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC， 所以平面PAB⊥平面PBC. 目录 数学·必修第二册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β” 是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则 l∥β或l⊂β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要 条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 2. 设α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a， b与l均不垂直，则（　　） A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直也可能平行 C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　∵α-l-β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β 内，且a，b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得 a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面 角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，但可 能平行.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC， 则点C1在底面ABC上的射影点H必在（　　） A. 直线AB上 B. 直线BC上 C. 直线AC上 D. △ABC内部 解析：　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1 ＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平 面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面 ABC的交线AB上，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 4. 已知在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3 的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体ABCD的体积为 （　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝ BD，BD⊥CD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边 △ABD边长为3，则S△ABD＝ AB·AD· sin 60°＝ ，又BD＝CD ＝3，故V四面体ABCD＝ CD·S△ABD＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 5. （多选）已知平面α，β，γ和直线l，下列命题中正确的是（　　） A. 若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ B. 若α⊥β，则存在l⊂α，使得l∥β C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ D. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　对选项A，因为α⊥β，所以存在直线a⊂α，使得a⊥β，又因为β∥γ，所以a⊥γ，又因为a⊂α，所以α⊥γ，故A正确；对选项B，如图①所示：在长方体中，满足α⊥β，存在这样的直线l⊂α，使得l∥β，故B正确；对选项C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质可知：m⊂α，m⊂β，所以m与直线l重合，所以l⊥γ，故C正确；对选项D，如图②所示：在长方体中，满足α⊥β，l∥α，此时l∥β，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 6. （多选）（2024·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝ AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下 列结论中一定成立的是（　　） A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDF⊥平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE. 因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 7. 已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则直线a与平面α的位置关系 是 ⁠. 解析：因为平面α⊥平面β，所以存在b⊂α，使b⊥β，又a⊥β，所 以a∥b，即a⊂α或a∥α. a⊂α或a∥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 8. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC ＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ ⁠. 解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC， ∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面 ABC. 又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角 分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'， 则 ＝ ⁠. 2 解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形， 侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD. 求证：平面PAB⊥ 平面PBD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB. 因为PA＝PD＝ AD，所以PA2＋PD2＝AD2， 所以PA⊥PD. 又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 11. 如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面 PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　） A. 一条线段 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 一个圆，但要去掉两个点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平 面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因为 BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C 的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 12. （多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（　　） A. 平面PAB⊥平面PAD B. 平面PAD⊥平面PDC C. AB⊥PD D. 平面PAD⊥平面PBC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB. ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 13. （2024·泉州月考）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，M 是四边形D1DCC1内异于C，D的动点，平面AMD⊥平面BMC. 则M点的轨迹的长度为 ⁠. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：因为DM⊂平面D1DCC1，BC⊥平面D1DCC1，故DM⊥BC，又因为平面AMD⊥平面BMC，故要满足题意，只需DM⊥MC即可.又点M在平面D1DCC1内，故点M的轨迹是平面D1DCC1内，以DC为直径的半圆（不包含D，C）.又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为 ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 14. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所 在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证： （1）BG⊥平面PAD； 证明：因为四边形ABCD是菱形且 ∠DAB＝60°， 所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点， 所以BG⊥AD. 又平面PAD∩平面ABD＝AD， 平面PAD⊥平面ABD，BG⊂平面ABD， 所以BG⊥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）AD⊥PB. 证明：由（1）可知BG⊥AD，又 △PAD为正三角形， 所以PG⊥AD. 因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面 PBG， 所以AD⊥平面PBG. 又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC， AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0 ＜k＜1），则（　　） A. 当k＝ 时，平面BPC⊥平面PCD B. 当k＝ 时，平面APD⊥平面PCD C. 对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直 D. 存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解析：　当k＝ 时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接 MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB， 可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M为PB的中点，PA＝ AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝ BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边 形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC. 又 DN⊂平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 16. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝ 2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的 中点. （1）求证：EF⊥平面BCG； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 解：证明：∵AB＝BC＝BD＝2， ∠ABC＝∠DBC＝120°， ∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC. ∵G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD. ∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面 BGC，∴AD⊥平面BGC. 又E，F分别是AC，CD的中点， ∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 （2）求三棱锥D-BCG的体积. 解：在平面ABC内，作AO⊥CB， 交CB的延长线于O， ∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直， 平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平 面ABC， ∴AO⊥平面BCD. ∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距 离h是AO长度的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 在△AOB中，AO＝AB· sin 60°＝ ， ∴h＝ . 在△BCD中，BF＝BD· cos 60°＝2× ＝1， DF＝BD· sin 60°＝ ，∴DC＝2 ， 故S△DCB＝ BF·DC＝ ×1×2 ＝ ， ∴VD-BCG＝VG-BCD＝ S△DCB·h＝ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第二册 $