精品解析：四川省成都实验外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 4，6，8 D. 6，6，12 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 已知∠α与∠β是互余，若∠α=20°，则∠β的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直 B. 有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 如图，直线，相交于，如果，那么是__________． 10. 已知，，则的值为_________． 11. 计算：_______． 12. 如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为______米． 13. 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝___． 14. 如图，，若，，则的度数为______． 15. 已知，则的值是________． 16. 如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为______． 17. 若x、y满足的，则m的最小值______． 18. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知于D，点E在的延长线上，于G，交于点F，，求证：平分． 证明：于D，于（已知）， （______）， （______）， （______）， ______（两直线平行，同位角相等）， 又（______）， （等量代换）， 平分（______）． 22. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 23. 如图，，的平分线交于点F，． （1）如图1，判断与是否相等，并说明理由； （2）如图2，平分，，求的度数； （3）如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 24. 甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，． （1）用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） （2）用“＜”、“＞”或“=”填空：______； （3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 25. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 26. 如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 （1）如图1，过F点作交于G点，求证：； （2）如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； （3）如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都实验外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 4，6，8 D. 6，6，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C 2. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据整式的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A． ，故本选项不符合题意； B． ，故本选项不符合题意； C．不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D． ，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 已知∠α与∠β是互余，若∠α=20°，则∠β的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出等式∠α+∠β=90°，代入求出即可． 【详解】∵∠α与∠β互余， ∴∠α+∠β=90°， ∵∠α=20°， ∴∠β=90°-20°=70°． 故选A． 【点睛】考查了余角和补角的应用，注意：如果设这个角为∠α，则它的余角的度数是90°-∠α． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及乘法公式；根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直 B. 有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度． 【详解】A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故该选项错误； B、一条直线的垂线有无数条，故该选项错误； C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该选项正确； D、点到直线的距离指的是垂线段的长度，而非垂线段，故该选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相交线的位置关系、垂线、点到直线距离的定义以及平行公理的推论，属于基础考题，比较简单． 7. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和平行线的性质．根据三角形内角和定理求出，由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴ 故选：B 8. 如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 如图，直线，相交于，如果，那么是__________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出∠1的度数，根据邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：∵∠1＋∠2＝280°，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝140°， ∵∠1＋∠3＝180°， ∴∠3＝180°−∠1＝180°−140°＝40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，根据对顶角相等求出∠1的度数是解题的关键． 10. 已知，，则的值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，能熟记法则的内容是解此题的关键，注意：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：8． 11. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为______米． 【答案】90 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在△ABS与△CBD中， ∵， ∴△ABS≌△CBD（ASA）， ∴AS＝CD=90（米）． 故答案是：90． 【点睛】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意证明△ABS≌△CBD是解答此题的关键． 13. 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点E是AC边的中点，得到S△ADC =2S△ADE，根据点D是BC边的中点，得到S△ABC=2S△ADC，于是得到结论． 【详解】 点E是AC边的中点， S△ADC =2S△ADE， S阴影=1， S△ADC=2S阴影=2， 点D是BC边的中点， S△ABC=2S△ADC=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 14. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整体代入法，能够熟练进行多项式乘以多项式是解决问题的关键． 由得，再把计算乘法再适当变形，整体代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为：． 16. 如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为______． 【答案】##63度 【解析】 【分析】根据平行线的性质及角平分线定义求出，，根据题意，设，则，在中，，从而有，解得，最后由，求得的值． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，综合运用题设条件是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ∵， ， 设，则， ， ， 在中，， 又，， ， ，，，， ， ， 解得：， ， 故答案为： 17. 若x、y满足的，则m的最小值______． 【答案】66 【解析】 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 18. 对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”． 例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：∵将展开得到多项式， 即，且， 当时，得：， ∴， 选择与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，即个和， …… 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是理解新定义． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先算乘方，再算乘法，即可解答； 利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； 利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】先根据整式的除法进行化简，由得出、的值，代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， 解得，， 当，时， 原式． 21. 如图，已知于D，点E在的延长线上，于G，交于点F，，求证：平分． 证明：于D，于（已知）， （______）， （______）， （______）， ______（两直线平行，同位角相等）， 又（______）， （等量代换）， 平分（______）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；已知；角平分线的定义 【解析】 【分析】本题考查平行线判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 由垂直定义得到，再由平行线的判定与性质得到角度之间的关系，等量代换即可得到，最后利用角平分线定义即可得证． 【详解】证明：于D，于（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；已知；角平分线的定义． 22. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，，的平分线交于点F，． （1）如图1，判断与是否相等，并说明理由； （2）如图2，平分，，求的度数； （3）如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， 的平分线交于点F， ， ； （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理； 根据得，再根据平分得，由此即可得出答案； 根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到； 依题意有以下两种情况：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，根据三角形的内角和即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， 的平分线交于点F， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； 【小问3详解】 依题意有以下两种情况： ①当点M在线段上时，如图3①所示： 设，则， ， 设，则， ， ， ， ， 由的结论得：， 在中，， ， ， ， ， ； ②当点M在的延长线上时，如图3②所示： 设，则， ， 设，则， 同理可得：， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或 24. 甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，． （1）用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式） （2）用“＜”、“＞”或“=”填空：______； （3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可； （2）利用求差法可比较两个式子大小； （3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 ∵， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：大正方形的边长为：， 大正方形面积为：， ， ． 答：与的差为定值，值为10． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 26. 如图，等腰中，，，E点为射线上一动点，连接，在的左侧作且 （1）如图1，过F点作交于G点，求证：； （2）如图2，连接交于D点，若E点为中点，求； （3）如图，当E点在射线上运动时，连接与射线交于D点，若，则______． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）过点F作于G，证明，得到，再根据求解即可； （3）分类讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时，过F作于点G，证，，，进而根据，设参求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段和差关系等内容，有难度，正确建立辅助线以及分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过F点作交于G点，如图2， 由（1）可知， ， 在和中， ， ， ， 点为中点 ， ≌， ， ， ； 【小问3详解】 解：第一种情况，当点E在线段上时，如图3， 此时可参考第二问情况，，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， ； 第二种情况：当点E在延长线上时，过F作于点G，如图4， 同理可得，， ，， ， 可设，则， ， ， ， ， 综上，的值为或 故答案为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $