精品解析：2025年山东省滕州市北辛中学学业水平模拟考试数学试题

2025年山东省滕州市北辛中学学业水平模拟考试试题数学 一、单选题（每题3分共计30分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键． 分别利用同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方计算公式进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，原写法错误，故不符合题意； D、，原写法正确，故符合题意； 故选：D． 3. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为38万千米，将38万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：38万， 故选：B． 4. 下列四个图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 5. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 7. 若关于方程无实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键． 根据一元二次方程无实数根，列不等式求解即可． 【详解】解析：关于x的方程无实数根， ， 解得， 故选D． 8. 一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为， ，解得：， ， 另一个交点坐标与关于原点对称， 另一个交点坐标为， 故选：B． 9. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ， 是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项C不符合题意， D、， ， ， 不能证得是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可． 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共计18分） 11. 如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得出与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵与的图象交于， ∴与为与的图象都向上平移2个单位长度，交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，，设与y轴相交于点E，由可得，再根据反比例函数的几何意义得到，进而得到，再根据即可求得答案． 【详解】解：连结，，，设与y轴相交于点E， ，四边形面积为5， ∵等底等高， ， ∵等底等高， ， ，， ， 解得， ∵， ， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于___________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CBF的面积＋△ABC的面积−扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出商标图案的面积 【详解】过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 15. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达地用时， 则乙行驶了， 乙距离A地还有． 故答案为：80． 16. 设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是_____．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数关于y轴对称， ∴点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为， ∵方程的正实数根为m， ∴二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，且， 如图， 当时，，故①、②错误，不符合题意； 当，时，，故③错误，不符合题意；④正确，符合题意； 故答案为：④ 三、解答题（72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，特殊角的三角函数值等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，零指数幂，绝对值的意义运算即可； （2）先将分式化简，再将的值代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴原式． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，求面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 19. 为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息． 信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用表示，单位：个）．分成六组：；；；；；． 信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189； 信息三：“立定跳远”成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表： 分组 人数 2 10 9 6 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图； （2）下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）； ①； ②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于； ③立定跳远成绩的中位数记为，则； （3）若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数． 【答案】（1）40；图见解析 （2） （3）全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与频数分布表，中位数，用样本估计总体． （1）将D组的人数除以其百分比，即可求出被随机抽取的男生人数，将人数减去其他各组的人数，求得B组的人数，即可补全条形统计图； （2）①将抽取的男生人数40减去各分组的人数，求出m的值，即可判断； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），除以总人数即可判断； ③根据中位数的定义判断即可； （3）由题意得到C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有23人，进而计算即可解答． 【小问1详解】 解：（人） ∴被随机抽取的男生人数为40人． B组的人数为：（人） 补全条形图如下： 故答案为：40； 【小问2详解】 解：①，故①正确； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人）， 占抽取人数为；故②错误； ③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21个数据位于第三组，故中位数n满足；故③正确． 综上，结论正确的是①③． 故答案为：①③ 【小问3详解】 解：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有（人） ∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为（人） 20. 如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合运用，涉及圆的相关性质，切线的判定，并结合相似与三角函数，熟练掌握圆的性质、相似和三角函数是解题关键． （1）连接交于点，证即可； （2）连接，利用判定； （3）分别求得，，最后利用，得求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． （1）求雪场电梯的长度． （2）计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 【答案】（1）224米 （2）运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点．在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，在中，利用直角三角形的性质即可得解； （2）在中，解直角三角形得米，由矩形性质得，米，在中，解直角三角形得米，米，从而即可得解． 【小问1详解】 解：过点作于点． 在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴（米） 【小问2详解】 解：在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ ∴（米） 中 ∵， ∴（米） ∴（米） ∴所需总时间为：（分钟） 答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟． 22. 已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． （1）求的值和的顶点坐标． （2）已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； （3）当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 23. 综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或 【解析】 【分析】（1）解法1连接，证明即可； 解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可． （2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省滕州市北辛中学学业水平模拟考试试题数学 一、单选题（每题3分共计30分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为38万千米，将38万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列四个图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程无实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，…，都是斜边在轴上等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计18分） 11. 如图，一次函数与的图象交于，则关于，的方程组的解为______． 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC=2cm，∠CBA=30°，以A为圆心，AB为半径作弧BEC，以BC为直径作半圆弧BFC，则图中阴影部分面积等于___________cm2． 15. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有___________． 16. 设二次函数，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，下列说法正确的是_____．（填写序号） ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则 三、解答题（72分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式值，其中． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，求的面积． 19. 为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息． 信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用表示，单位：个）．分成六组：；；；；；． 信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189； 信息三：“立定跳远”成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表： 分组 人数 2 10 9 6 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图； （2）下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）； ①； ②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于； ③立定跳远成绩的中位数记为，则； （3）若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数． 20. 如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 21. 2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． （1）求雪场电梯的长度． （2）计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需时间．（，，，，，结果保留整数） 22. 已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． （1）求的值和的顶点坐标． （2）已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； （3）当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 23. 综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $