精品解析：四川省成都市西川中学2025-2026学年九年级上学期入学考数学试题

西川中学2025-2026学年九上入学考数学 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边减得，故不成立，错误； 选项B：由，两边同乘，不等号方向不变，得，故不成立，错误； 选项C：由，两边同乘3得，再两边同减1得，故不成立，错误； 选项D：由，两边同乘，不等号方向改变，得，成立． 故选：D ． 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 8. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可； 【详解】解：∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意； ∵ ， ∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意； 当 时， ，故C不符合题意； 当 时， ，故D错误，符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 10. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 11. 如图，P为反比例函数图象上的一点，过点P作轴，垂足为点A．若的面积为4，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，由此表示的面积，求出即可 【详解】解：设点坐标为， 由题意可知，， ∵的面积为4， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 12. 如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出，最后再次利用平行线分线段成比例可得． 【详解】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G， ∵， ∴． ∵D为BC中点， ∴G为CE中点，即CG=EG． ∵E为AC中点， ∴AE=CE， ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键． 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理求出、，最后由菱形面积即可得解． 【详解】解：菱形中，、互相垂直平分， 点是、中点，， ， ， ， ，， 中，， ， 菱形的面积． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理解直角三角形、菱形的面积，解题关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）解一元二次方程： （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用配方法将方程转化为完全平方形式求解，先将常数项移到等式右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1），最后写成完全平方形式开方即可； （2）观察发现是最简公分母，等式左右两边同时乘去分母后化为整式方程求解，注意分式方程需检验； 本题考查解一元二次方程和解分式方程，熟练掌握配方法和解分式方程的标准步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项：， 配方：， ， 开方：， ； 【小问2详解】 解：去分母：， ， ， 检验：将代入得到，， 所以是原方程的根． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出根的判别式的符号即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为5， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 16. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 17. 已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）延长，交的延长线于点G．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据菱形的性质可求出，，，证明是等边三角形，得出，根据证明，得出，，进而可求出，最后根据等边三角形的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质可得出，然后结合即可得证． 【小问1详解】 证明：连接， ∵菱形， ∴，，分别平分，，， ∴，， 又， ∴， ∵分别平分，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：如图， ∵是等边三角形， ∴， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解． （3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、图象法求不等式的解集，求反比例函数与一次函数图象的交点坐标， 等面积法的运用，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线，利用数形结合思想求解是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求解即可； （2）利用函数图象，求得反比例函数图象位于一次函数图象上方部分或重合处的点的横坐标的取值范围即可； （3）当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 设，利用勾股定理和等面积法解得，再利用角平分线的性质推出，接着可求出点F的坐标，利用待定系数法求直线的解析式， 再联立直线与反比例函数的解析式解方程求点E的坐标；过点A作，交轴于点M，可得，设， 利用等面积法求出，往下的解法同第1种情况，综合可得点E的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，可得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解： 不等式可化为， 由函数图象可知，当或时，， 不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：将点代入，可得，， 直线的解析式为， 当时，由解得，故， 如图1，当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 则，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 由勾股定理得， 由，得， ， 方程两边平方整理得，，解得， ，， ，， ， 平分， 点F到和的距离相等， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 代入点，，可得， 解得， 直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ； 如图2，过点A作，交轴于点M，则， ， 设，则，， ，， ， 由得，， ， 两边平方整理得，解得， ， 同理可求直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ， 综上可知点的坐标为或． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可 【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14， ∴原方程为 解得x1=-7,x2=2, 故另一个解为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解． 20. 定义新运算：，若，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 21. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴可以假设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 22. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 23. 如图，四边形中，，，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想是解题关键．过点作，过点作交延长线于点，利用特殊角的三角函数值，求出，，设，证明，，得出，从而得到，在直角三角形中，分别表示出，，从而推出，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作交延长线于点， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的长为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3） （4）存在， 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标； （4）根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：设，则，，， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：过点E作轴于点F，如图所示． ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 【小问4详解】 解：存在， 如图所示，由，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ∴存在，点P的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 26. 如图，在矩形中，，是射线上一点（不与点重合），连接，过点作于点． （1）求证：； （2）若点是线段的中点，求的值（用含k的代数式表示）； （3）取的中点，连接，，当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，结合已知可得，由直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，可得，即可证得结论； （2）连接，设，则，，由线段垂直平分线的性质，结合勾股定理可得，代入化简即可； （3）作，交于，交于，设，，证明，，对应边成比例，等量代换，可得，从而可得，由平行线分线段成比例可得，代入，解方程，即可得的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵于点，是线段的中点， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 作，交于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，平行线分线段对应成比例，三角形相似的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西川中学2025-2026学年九上入学考数学 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 8. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一元二次方程的解是______． 10. 若分式的值为，则__________． 11. 如图，P为反比例函数图象上的一点，过点P作轴，垂足为点A．若的面积为4，则____________． 12. 如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____． 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ___． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）解一元二次方程： （2）解分式方程： 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 16. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 17. 已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）延长，交的延长线于点G．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解． （3）若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 20. 定义新运算：，若，则x的值为_________． 21. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____． 22. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 23. 如图，四边形中，，，若，则的长为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在矩形中，，是射线上一点（不与点重合），连接，过点作于点． （1）求证：； （2）若点是线段的中点，求的值（用含k的代数式表示）； （3）取的中点，连接，，当，，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $