精品解析：云南省曲靖市罗平长水实验中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

罗平长水实验中学2025-2026学年上学期高二年级9月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程. 【详解】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 两圆的圆心距为，所以，所以两圆的位置关系为外切. 故选：C. 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可得，即， 可得，所以. 故选：B. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 6. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义，得，解得． 将点的坐标代入，得或（舍去） 故选：A 7. 直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对称性，当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件. 8. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于双曲线，下列命题是真命题的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦点坐标为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由双曲线方程得到，即可求解双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 【详解】对于双曲线，，，则， 所以双曲线的实轴长为，焦点坐标为，离心率为， 渐近线方程为，即，故选项AC为真命题. 故选：AC. 10. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可计算数列的通项公式，逐项判断可确定正确答案. 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 当时，， ∴数列是以7为首项，为公差的等差数列，选项A正确. 由得，，选项B正确. 由得，，故，选项C正确. 由得，时，，时，， ∴有最大值，最大值为，选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求的值判断B. 【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A错； 又，故，B对； 由面的一个法向量为，则， 所以时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为，C对； 由，，若为面AMP的一个法向量， 则，令，则， 又，则点N到平面AMP距离为， 令，则，故，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13. 椭圆的两焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点， 则△ABF2周长为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程,求出a的值,再由椭圆的定义可得结果. 【详解】因为椭圆, ,由椭圆的定义可得， 的周长是, 故选A. 【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用椭圆的定义是解题的关键. 14. 已知数列满足，且，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在公比大于0的等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去）， 所以． 【小问2详解】 由于，则． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接，设，连接， 因为底面为正方形，所以为的中点， 因为为的中点，所以在中，， 因为平面平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，则由三角形的中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以， 因为底面为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以， 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 17. 设数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 19. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解； （2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性. 【小问1详解】 ， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 ，， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗平长水实验中学2025-2026学年上学期高二年级9月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 7. 直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于双曲线，下列命题是真命题的是（ ） A. 实轴长为2 B. 焦点坐标为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线的方程为______． 13. 椭圆的两焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点， 则△ABF2周长为_____________． 14. 已知数列满足，且，则________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在公比大于0的等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 设数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 19. 已知函数，()． （1）若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； （2）讨论的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $