精品解析：江西省九校协作体2021-2022学年下学期九年级数学创新能力测试卷

江西省九校协作体2021－2022学年下学期初三数学创新能力测试卷 命题人：徐艳红（丰城中学） 审题人：肖鸿斌（宜春实验中学） 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共6小题，共3×6＝18分） 1. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知网格中小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在抛物线，抛物线与关于x轴对称，两抛物线的顶点相距5，则c的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 6. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，共3×6＝18分） 7. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”：_____． 8. 首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有________块，白色皮块有________块． 9. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 _______________． 10. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 11. 如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为（），当的结果是时，n的值为______． 12. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______． 三、解答题．写出必要的证明过程或演算步骤．（共5小题，共5×6＝30分） 13. （1）． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 14. 如图，在圆O中，过半径OD的中点C作交圆O于A、B两点，且． （1）求OD的长； （2）计算阴影部分的周长． 15. 为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：．唐诗；．宋词；．论语；．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？ （2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 16. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（保留作图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中作的中线． （2）在图2的的边上作点，使． 17. 已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值． 四、（本大题共3小题，共3×8＝24分） 18. 如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 19. 如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整． （1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数） （2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：） 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.9 m 80 d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 五、（本大题共2小题，共8×9＝18分） 21. 如图，直线，垂足为D，，点B是射线上的一个动点，，边交射线于点C，的平分线分别与、相交于点E、F． （1）求证：； （2）如果，，求y关于x的函数关系式； （3）连接，若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 六、（本大题共12分） 23. 定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． （1）如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； （2）如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； （3）如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九校协作体2021－2022学年下学期初三数学创新能力测试卷 命题人：徐艳红（丰城中学） 审题人：肖鸿斌（宜春实验中学） 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共6小题，共3×6＝18分） 1. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元一次方程的定义，把代入即可得出k的值，再根据一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：∵0为一元二次方程根， ∴， 解得：， ∵，即 ∴， 故选：B． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据三视图可得，这个图形的左视图为两个矩形合在一起的一个大矩形． 故选：D 【点睛】本题考查三视图． 3. 如图，已知网格中小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作BD⊥AO于D，过点O作OC⊥AB于C．由S△ABO=AO•BD=AB•CO，求出BD，然后在Rt△BDO中，利用正弦函数的定义即可求出sin∠AOB的值． 【详解】解：过点B作BD⊥AO于D，过点O作OC⊥AB于C． ∵， ∴, 又 ∴， ∵S△ABO=AO•BD=AB•CO， ∴AO•BD=AB•CO， ∴， 在Rt△BDO中，∵∠BDO=90°，，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键． 4. 已知在抛物线，抛物线与关于x轴对称，两抛物线的顶点相距5，则c的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的顶点，再根据对称性求出的顶点坐标，由两抛物线的顶点相距5求出c的值即可． 【详解】解： = = ∴的顶点坐标为（，） ∵抛物线与关于x轴对称， ∴抛物线的顶点坐标与顶点坐标关于x轴对称， ∴的顶点坐标为（，） 又两抛物线的顶点相距5， ∴ ∴或 解得，或 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据题意求得的顶点坐标是解题的关键． 5. 如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用全等三角形的性质求解. 【详解】如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P.∵∠ABC=∠C=45°，∴CP⊥AB，∵∠ABC=∠A=45°，∴AQ⊥BC，点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC，由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，∴BD⊥EF，故①正确；∵∠DBQ+∠DCA=45°,∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC，∴EF=AC，故②正确；∵∠A=∠ABC=∠C=45°，∴∠DAC+∠DCA=180°−(∠A+∠ABC+∠C)=45°，∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)=135°=∠BEF+∠BFE=180°−∠ABC，故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误.故选B. 【点睛】本题主要考查三角形中位线以及三角形全等的判定和应用，熟练掌握相关知识点是解答的关键. 6. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】在左侧构成轴对称图形如图： 在下方构成轴对称图形如图： 在右侧构成轴对称图形如图: 【点睛】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共3×6＝18分） 7. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”：_____． 【答案】9.899×107 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：9899万＝98990000＝9.899×107. 故答案为：9.899×107. 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 8. 首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有________块，白色皮块有________块． 【答案】 ①. 12 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设白色皮块为个，则黑色皮块为个，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设白色皮块为个，则黑色皮块为个， 依题意得：， 解得：， 则黑色皮块有：（个）， 答：黑色皮块有12块，白色皮块有20块， 故答案为：12；20． 9. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 _______________． 【答案】+1 【解析】 【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边中线定理可得OE＝AE＝AB＝1，利用勾股定理求出DE，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当OD过点E时，点D到点O的距离最大． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE， ∵∠MON＝90°，AB＝2 ∴OE＝AE＝AB＝1， ∵BC＝1，四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝1， ∴DE＝， 根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE， ∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1． 故答案为： +1． 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定OD过点E时，点D到点O的距离最大． 10. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】8 【解析】 【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥6， 解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6， ∴， ∴a＜7； 分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1）， 解得：y=， ∵方程的解是正整数， ∴＞0， ∴a＞-5； ∵y-1≠0， ∴≠1， ∴a≠-3， ∴-5＜a＜7，且a≠-3， ∴能使是正整数的a是：-1，1，3，5， ∴和为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键． 11. 如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为（），当的结果是时，n的值为______． 【答案】199 【解析】 【分析】此题考查了图形的变化规律，结合图形观察数字，发现：，，进一步得到；在计算的时候，根据，…进行简便计算． 【详解】解：观察图形可得：； 当， ∴， 解得． 经检验是分式方程的解． 故答案为：199． 12. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______． 【答案】2或2或2 【解析】 【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，结合三角函数，等边三角形的性质即可解题. 【详解】解：当∠APB=90°时（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BOP为等边三角形， ∵AB=BC=4， ∴； 当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴， 在直角三角形ABP中， ， 如图3，∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=2， 故答案为或或2． 【点睛】考点：勾股定理． 三、解答题．写出必要的证明过程或演算步骤．（共5小题，共5×6＝30分） 13. （1）． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），画图见解析 【解析】 【分析】（1）根据最简二次根式、负整数指数幂、零指数幂、特殊锐角的三角函数值计算可得； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式． （2）解，得：， 解，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解不等式遵循不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集，也考查了实数的运算． 14. 如图，在圆O中，过半径OD的中点C作交圆O于A、B两点，且． （1）求OD的长； （2）计算阴影部分的周长． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝，再利用三角函数的定义求出∠COB＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝1，OB＝2OC＝2，从而得到OD的长； （2）根据弧长公式以及勾股定理计算出各边以及弧长，相加即可得结果． 【详解】解：（1）∵AB⊥OD， ∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝， ∵点C为OD的中点， ∴OC＝OB， ∵cos∠COB＝＝， ∴∠COB＝60°， ∴OC＝BC＝×＝1， ∴OB＝2OC＝2， ∴OD＝OB＝2； （2）∵OB＝2， BC＝， ∴， ∵OD＝2， ∴， ∵OC=1，OB=2， ∴∠BOC=60°， ∴， ∴阴影部分的周长为：． 【点睛】本题考查勾股定理、解直角三角形以及弧长公式等知识点，熟练运用相关公式是解题的关键． 15. 为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：．唐诗；．宋词；．论语；．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？ （2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可． （2）先根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：恰好抽中“论语”的概率是：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果为1种，小明和小红都没有抽到“三字经”为6种， 恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率为． 小明和小红都没有抽到“三字经”的概率为：． 【点睛】本题主要考查了概率的计算公式和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． 16. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（保留作图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中作的中线． （2）在图2的的边上作点，使． 【答案】（1） 如图1所示，取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求． （2） 如图2：取格点，，连接交于，连接，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求； （2）取格点，，连接交于，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1所示，取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求． 理由：由图可得点E为的中点， ∴为的中线， ∵ ∴点F为的中点， ∴为的中线， ∵交于O， ∴点O为的重心， ∴为的中线． 【小问2详解】 解：如图2：取格点，，连接交于，连接，点即为所求； 理由： ， ∴ ∴，， ， ， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查格点作图，三角形的中线，三角形的重心，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握网格的特征，作出满足条件的图形． 17. 已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值． 【答案】（1）见详解；（2）a=-1． 【解析】 【分析】（1）先判断出方程为一元二次方程，再判断出，问题得证； （2）先解方程得，根据方程有负整数根且a为整数，求出a=-1或a=-3，根据方程的两个负整数根不相等，求出a=-1． 【详解】解：（1）证明：∵a≠0， ∴原方程为一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0得， ∵方程有两个负整数根，且a为整数， ∴a=-1或a=-3， 当a=-1时，， 当a=-3时， ∵方程的两个负整数根不相等， ∴a≠-3． ∴a=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，方程的解等知识，熟知一元二次方程根的判别式并判断根的情况，正确解出含字母系数的方程是解题关键． 四、（本大题共3小题，共3×8＝24分） 18. 如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．过点A作轴于点E，设，首先通过相似三角形的性质得出的长度，进而求出D点的坐标，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， 设，则， ∵， ， ， ， ， ， ∴D点的横坐标为， 则纵坐标为， ， ， ， ． 19. 如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整． （1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数） （2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先求解 再利用 求解，从而可得答案； （2）作，垂足分别为，证明：四边形为矩形，求解：，从而可得的长度，再利用，利用锐角三角函数可得答案． 【详解】解：（1）过点作，交的延长线于点 ， 到底面高度为； （2）作，垂足分别为 ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 的长度为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.9 m 80 d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）30；（2）77.5；（3）810 【解析】 【分析】（1）参赛学生成绩频数分布直方图，可得75分以上的有 人，即可求解； （2）根据题意可得位于第25位，第26位的分别为77、78，即可求解； （3）用1500乘以成绩超过平均数76.9分的人数所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有 人； （2）∵位于第25位，第26位的分别为77、78， ∴中位数为 ， 即表中m的值为77.5； （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数：（人）， 答：估计成绩超过平均数76.9分的人数是810人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，能从频数分布直方图获取准确信息是解题的关键． 五、（本大题共2小题，共8×9＝18分） 21. 如图，直线，垂足为D，，点B是射线上的一个动点，，边交射线于点C，的平分线分别与、相交于点E、F． （1）求证：； （2）如果，，求y关于x的函数关系式； （3）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直线，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）作，垂足为点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到，得到，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可； （3）设，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为点H． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵，直线， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 【答案】（1）； （2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，﹣4）； （3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． ①若AB是平行四边形的对角线， 当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形， 即MN经过AB的中点C（2，0）， ∵点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为（2，-4）； ②若AB是平行四边形的边， 1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2， ∴点M的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2+4=6， ∴点M的坐标为（6，12）， 综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可； （3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当 MN∥AB时；2）当 NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1）， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵A（0，-1），B（4，1）， ∴直线AB的函数表达式为， ∴C（2，0）， 设P，其中0<t<4， ∵点E在直线上，PE∥x轴， ∴E，∠OCA=∠DEP， ∴PE=， ∵PD⊥AB， ∴∠EDP=∠COA， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO=1，OC=2， ∴AC=， ∴△AOC的周长为3+， 令△PDE的周长为l，则， ∴， ∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，﹣4）， （3）略 【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算． 六、（本大题共12分） 23. 定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． （1）如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； （2）如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； （3）如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据是中的对望角，得出，，求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，延长，根据垂直平分线性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明A、B、C、D四点共圆，得出，，证明，得出平分，即可证明结论； （3）设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，证明，是圆的直径，设，则，求出，得出，，解直角三角形得出，求出，根据垂径定理逆定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∵是中的对望角， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，延长，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵是的外角平分线， ∴是的对望角． 【小问3详解】 解：设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，如图所示： ∵，， ∴平分， ∴为的垂直平分线， ∴，是圆的直径， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，三角形面积计算，四点共圆，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $