精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

哈三中2025-2026学年度上学期高三学年第一次验收考试 数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. “百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ） （参考数据：，结果保留整数） A. 658 B. 668 C. 678 D. 688 8. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 是奇函数 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 13. 已知，，且，则的最小值为________. 14. 已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角，，的对边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，成等差数列，且，求. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 19. 记，，，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值； （3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025-2026学年度上学期高三学年第一次验收考试 数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按交集的定义求解即可. 【详解】因为, 或， 所以或= . 故选：C. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：A. 4. 已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象变换知识结合题设可得答案. 【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 7. “百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ） （参考数据：，结果保留整数） A. 658 B. 668 C. 678 D. 688 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给函数模型，代入得的值，即可代入求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 所以估计此学生在高考中可能取得的总分为分. 故选：B. 8. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个二次的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在上恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为，可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 是周期为4的函数 C. D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由的图象关于点对称，根据对称性可得，可判断D；由已知可得判断A；由已知等式推出，可推出函数的周期，判断B；再结合赋值法可判断C. 【详解】函数的定义域均为，函数的图象关于点对称，则， 即函数是奇函数，D正确； 又 ①， ②， 由①式，令 ，得， 化简可得； 由②式，令，得， 化简得； 因此，即. 故的图象关于直线对称，A正确； 由①式，令，可得 ③， ③-①可得 ④， 因为的图象关于点对称， 所以 ⑤， ④+⑤可得 令可得， 则， 故函数是周期为4的函数，B正确； 在中，令，则， 令，得，令，得， 由，令，得， 可得， 故，则，C错误， 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式乘“1”法求得最小值即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 14. 已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出的图象,设,由图象可转化问题为有3个解,有4个解，然后分析的范围即可求解. 【详解】由题可得，当时,； 当时,, 当时,；当,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 当时,,则；当时,,则, 画出的图象,如图所示, 因为有7个不同的实数解， 设，则， 由有个解，则必然有两个解， 且有3个解,有4个解，有以下情况： （1），代入可得，矛盾，故舍去； （2）,，设，根据根的分布的性质可得：，解得； （3），，代入，解得，此时，解得，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角，，的对边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，成等差数列，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理将转化为，再利用两角和正弦公式，同角关系求结论； （2）根据等差数列定义可得，结合（1）及余弦定理可得，再结合条件解方程求即可. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，故， 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，，成等差数列， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，故， 所以，又， 所以，又， 所以， 所以. 16. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助构造法构造等差数列后结合等差数列性质即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 则，又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，则； 【小问2详解】 则， 则 ， 则. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在单调递减；时，在单调递减，单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性； （2）问题化为对，恒成立，讨论函数单调性得出最值计算求参数范围. 【小问1详解】 由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由题设对于，，使得，知，成立． 由（1）当时，，则在上递增，， 对于，函数单调递增，在上递增， ， 所以只需． 综上：． 18. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组即可求出； （2）（i）设，，联立方程组求出两点坐标，根据坐标求出直线的方程即可； （ii）根据（i）可得，再令，通过求导研究其最值即可. 【小问1详解】 由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略； （ii）由（i）可得， ， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，的面积有最大值. 19. 记，，，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值； （3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由. 【答案】（1）偶函数，证明：因为，，， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， （2）2 （3），理由：由（2），又，，， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，， 所以， 结合周期性可得，，都是函数在上的零点， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，， 所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为. 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，证明定义域关于原点对称，再证明，由此可得结论； （2）设，换元可得，设，，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，由此可得，再求，结合条件求的范围，由此可得结论； （3）由（2）可得，证明函数为周期函数，为函数的一个周期，再证明，由此可得，，都是函数在上的零点，再证明函数在内有且只有一个零点，结合周期性可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 令，则，，则， 设，， 则， 当时，，又， 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 当时，，又， 所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以最小值为，所以， 所以， 因为，对任意恒成立，所以， 所以的最小整数值为， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $