2.4解直角三角形 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.4解直角三角形 同步习题 一、单选题 1．已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC的长为（    ） A． B． C．12 D．12 5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 6．如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　） A．3m B． m C． m D．4m 8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于(　   　) A． B． C． D． 二、填空题 9．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ． 11．在中，，若，则 ． 12．如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；；按照此规律进行下去，则长为 ． 13．矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米． 14．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝ ． 三、解答题 15．如下图，在中，于点D，．求的值． 16．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 17．在一次数学实践课上，老师出了这样一道题：如图1，在锐角中，，，所对的边长分别是，，，请用，，表示． (1)甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏，因此可以过点作于点，如图2所示；乙同学认为要想得到，便要利用或；丙同学认为要先求出______，______（用含，的三角函数表示）；丁同学顺着他们的思路，求出______（提示：）． (2)请利用丁同学的结论解决下面的问题：如图3，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 18．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的正切值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B B D C B B 1．C 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，若，， ，， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了三角函数在直角三角形中的应用，特别是正弦函数的定义和应用．在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边． 【详解】解：，， ． ， ． 故选：B． 3．B 【分析】作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出∠ACD=30°，由直角三角形的性质得AD=AC=3，BD=CD=AD=3，即可得出答案． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示： 则∠BDC=∠ADC=90°， ∵∠B=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=CD，∠BCD=45°， ∵∠ACB=75°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°， ∴AD=AC=×6=3，CD= =3， ∴BD=CD=3， ∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）； 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．B 【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△ABD是等边三角形，可求出AD的长，再根据特殊角的锐角三角函数值求出AO的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝6，∠DAC＝30°， ∴AO＝6×cos30°＝ ， ∴AC＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，求出AO的长是解题关键． 5．D 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 6．C 【分析】设BP=x（x≥0），过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，利用正弦三角函数求得S△PBC ，S△ADQ，当两三角形的面积和最小时，四边形的面积最大，根据x≥0即可判断； 【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，设BP=x（x≥0），则AQ=3--x=-x， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°， ∴，，， ∴S△PBC=， S△ADQ， S△ABC=， S△PBC+S△ADQ=≥（x=0时，有最小值）， ∴四边形PCDQ面积≤-=， 故选： C． 【点睛】，本题考查了正弦三角函数，等边三角形的性质，根据面积关系正确作出辅助线是解题关键． 7．B 【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度． 【详解】解：∵sin∠CAB＝ ∴∠CAB＝45°． ∵∠C′AC＝15°， ∴∠C′AB′＝60°． ∴sin60°＝， 解得：B′C′＝3． 故选B． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题． 8．B 【详解】解：设所对的边分别为， ， 不妨设，由勾股定理得到 ， 故选：B. 9． 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 10． 【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解. 【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB， ∴AE=EB=AB=3， 在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3， tan60°=， ∴EF=3； 当AF长取得最小值时，DF长取得最大值， 由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM， ∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值， 过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形， ∴FM=DG， 在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6， ∴DG=DCsin60°=3， ∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3， 故答案为：3；6-3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11． 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形，其中涉及三角函数、勾股定理知识，解题关键是熟练掌握并应用锐角三角函数中正弦、正切的边角关系．先根据三角函数正切定义求得，设，，利用勾股定理计算得，再根据三角函数正弦定义计算即可完成求解． 【详解】解：中，， 即， 设，，其中， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理、规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．解直角三角形求出，，，，探究出规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， 由此规律可知， 故答案为：． 13．或或 【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan30°=cm； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan60°=cm； 当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示， 设AE=x，则EA′=x，， ∵AF=AE+EF=ABtan30°=， ∴， ∴， ∴ cm． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 14． 【分析】设AC、BD相交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥ BD,再求出OA ，OB，利用勾股定理求出菱形的边长AB，过点A作AE⊥ BC于E,利用菱形的面积列出方程求出AE，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解 【详解】 如图，设AC、BD相交于点O， 在菱形ABCD中, AC⊥ BD,OA=AC=×6=3， OB=BD=×8=4， 由勾股定理得, AB===5， 过点A作AE⊥ BC,则=5×AE=×6×8， 解得AE=， 所以,sin∠ABC==. 故答案为：. 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟记性质并构造出所在的直角三角形是解题关键． 15． 【分析】本题考查了锐角三角函数值和三角形的内角和定理，解题的关键是构造直角三角三角形. 根据三角形的内角和定理求出，得出，求出即可． 【详解】解：， ， ． ， ． 16．(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，多边形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据可表示，再根据表示，进而得出，最后代入式子整理即可； 对于（2），根据（1）中的结论求出，即可得，再延长交的延长线于点E，然后根据直角三角形的性质求出，可得，然后根据特殊角三角函数值求出，并根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）过点A作，交于点D， 在中，，， ∴，． ∴， 根据勾股定理，得． 故答案为：，，； （2）由（1）知， 则， 解得， ∴， ∴. 延长交的延长线于点E， ∴， ∴. 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得. 根据勾股定理，得. ∴． 18．(1) (2) 【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点E作于点H．求出，，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $