21.2.3 因式分解法 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

 

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程

21.2.3 因式分解法（预习讲义）

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学习目标

1. 理解因式分解法的基本思想，掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。
2. 能熟练将方程化为一般形式后，通过因式分解转化为两个一次方程的乘积求解。
3. 会判断何时使用因式分解法更简便，体会数学中的转化思想。

知识点梳理

1. 因式分解法的定义

将一元二次方程通过因式分解化为两个一次式的乘积等于0的形式，即：

根据“若两数乘积为0，则至少有一个数为0”，得到方程的解：

即 或 。

2. 适用条件

当一元二次方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，优先选用因式分解法。

3. 常用因式分解方法

• 提公因式法：如 可化为 。
• 公式法：平方差公式 ，完全平方公式等。
• 十字相乘法：适用于 。

重点知识讲解

1. 解题步骤

① 化标准形：将方程整理为 的形式。
② 因式分解：将左边分解为两个一次式的乘积。
③ 解方程：令每个因式等于0，得到两个解。

例1：解方程

• 分解因式：
• 求解： 或 ，即 或 。

例2：解方程

• 提公因式：
• 求解： 或 ，即 或 。

2. 注意事项

• 检查右边是否为0：若方程非标准形（如 ），需先移项整理。
• 彻底分解：确保因式分解后不能再继续分解（如 应化为 ）。

知识点总结

1. 核心思想：通过因式分解将二次方程降次为两个一次方程求解。
2. 关键步骤：一化（标准形）、二分（因式分解）、三解（令因式为0）。
3. 优先选择：当方程易于因式分解时，此方法比公式法更简便。