21.2.3 因式分解法 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程 21.2.3 因式分解法（预习讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解因式分解法的基本思想，掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。 2. 能熟练将方程化为一般形式后，通过因式分解转化为两个一次方程的乘积求解。 3. 会判断何时使用因式分解法更简便，体会数学中的转化思想。 知识点梳理 1. 因式分解法的定义 将一元二次方程通过因式分解化为两个一次式的乘积等于0的形式，即： 根据“若两数乘积为0，则至少有一个数为0”，得到方程的解： 即 或 。 2. 适用条件 当一元二次方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，优先选用因式分解法。 3. 常用因式分解方法 · 提公因式法：如 可化为 。 · 公式法：平方差公式 ，完全平方公式等。 · 十字相乘法：适用于 。 重点知识讲解 1. 解题步骤 ① 化标准形：将方程整理为 的形式。 ② 因式分解：将左边分解为两个一次式的乘积。 ③ 解方程：令每个因式等于0，得到两个解。 例1：解方程 · 分解因式： · 求解： 或 ，即 或 。 例2：解方程 · 提公因式： · 求解： 或 ，即 或 。 2. 注意事项 · 检查右边是否为0：若方程非标准形（如 ），需先移项整理。 · 彻底分解：确保因式分解后不能再继续分解（如 应化为 ）。 知识点总结 1. 核心思想：通过因式分解将二次方程降次为两个一次方程求解。 2. 关键步骤：一化（标准形）、二分（因式分解）、三解（令因式为0）。 3. 优先选择：当方程易于因式分解时，此方法比公式法更简便。 巩固练习 一、选择题 1．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．不确定 2．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为(　　) A．18 B．30 C．36 D．不确定 3．已知等腰的一边，另外两边是关于的一元二次方程的根．则的周长为（　　） A．11或19 B．15或13 C．11或15 D．19或13 4．如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（　　） A． B． C． D． 5．已知，则m2+n2的值是（　　） A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．2 6．下列结论①当时，若，则；②无论x取任何实数，等式都恒成立，则；③若，，则；④满足的整数解共有12个．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在自变量x的取值范围内，对于自变量时，函数值，则称a是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．4 二、填空题 8．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是　 　． 9．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是　 　． 10．若方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为　 　． 11．已知，，分别是等腰三边的长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的周长等于　 　． 12．如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为　 　． 13．（1）一元二次方程在范围内有　 　个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为　 　． 14．如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是　 　． 三、解答题 15．定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． （1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； （3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 16．我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，该方程的衍生点M为 ． （2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 17．已知函数的图象与轴、轴分别交于点和点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，为直线上一点，作轴交直线于， （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点，点M，分别在直线和上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 18．对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形OABC给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形OABC的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段MN，PQ的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当MN＝PQ时，． 已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）． （1）若，则MN＝______，PQ＝______； （2）若，，则b的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标． 参考答案 1．B 2．A 3．A 4．B 5．A 6．A 7．A 8． 9．13 10．13 11．37或42或27 12．30 13．1；或 14．4或6 15．（1） （2）；；互为倒数 （3）， 16．（1）（1，2） （2）或 （3）存在，， 17．（1） （2）或 （3）或 18．（1）5，2.5； （2）1或3.5 （3）的最大值为2.5，四边形的对角线交点坐标为() 学科网（北京）股份有限公司 $