第04课：21.2.3因式分解法 讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第04课 第二十一章一元二次方程21.2.3解一元二次方程-因式分解法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 因式分解的概念： 不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 知识点二 因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点三 用合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 使用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x²=p或（mx±n）²=p（p≥0） 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若ab=0，则a=0或b=0 等号一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积的一元二次方程 考点1 形如ab=0形式的方程求解一元二次方程 例题1.一元二次方程的两根分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】若，则，得， 变式1（1）.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. 和 D. 和 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 利用因式分解法解方程． 【解答】 解：或， 所以，． 故选：． 变式1（2）.方程的根为          ． 【答案】，  考点2 提单项式公因式法因式分解解一元二次方程 例题2.一元二次方程的根是     ． A. B. C. ， D. ， 【答案】C  【解析】化为=0提公因式法因式分解得：=0，或， 得：， 故选择C 变式2（1）.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解， ， 或， ，， 故选． 变式2（2）.方程的根是          ． 【答案】，  考点3 提多项式公因式法因式分解解一元二次方程 例题3.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  【解析】方程化为=0，提公因式x+1得（x+1）（x-3）=0 进而得到，，故选择C 变式3（1）.一元二次方程的根是     ． A. B. C. ， D. ， 【答案】D  变式3（2）.方程的根为          ． 【答案】，  考点4 平方差公式法因式分解解一元二次方程 例题4.用因式分解法解一元二次方程，可分解得(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】方程，进而用平方差公式因式分解 得；故选择A 变式4（1）.一元二次方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程将方程左边分解因式，转化为两个一元一次方程求解即可． 【解答】 解：， 或 解得：，， 故选D． 变式4（2）.方程的左边因式分解后，原方程可化为          ． 【答案】  变式4（3）.解方程：．解：运用平方差公式分解因式，得          ，          或          ，解得           ，           ． 【答案】(1)（2x＋5）（2x－5）;2x＋5;2x－5;;  考点5 完全平方公式法因式分解解一元二次方程 例题5.写出下列一元二次方程的根．           【答案】  【解析】方程等号左边是完全平方公式，由完全平方公式得：（x-5）²=0， 进而得到：  变式5（1）.方程的解是           ． 【答案】  变式5（2）.解方程：．解：运用完全平方公式分解因式，得          ，          ． 【答案】（2x－1）2 ;  考点6 十字相乘法因式分解解一元二次方程 问题背景：我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解，即如：“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程． 例题6、根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得，等式右边的两个一次二项式的系数有关系，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边上、下角两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： 填空： 因式分解：           解方程：，左边因式分解得                    ，           ，           解方程： ． 【答案】解：          因式分解，得，，或，解得， 因式分解，得，，或，解得，． 变式6（1）.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】【分析】解方程求得  的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【详解】解：  ， 解得  ， 当腰是  时，三边分别  ，  ，  ，不能组成三角形； 当腰是  时，三边分为  ，  ，  ，能组成等腰三角形； 所以此等腰三角形的周长是  ． 故选：． 变式6（2）.已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， 则或， 解得，， 菱形的面积为， 故选：． 先求出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果． 本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点． 变式6（3）.已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为，则这个菱形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出边长是解决问题的关键． 解方程得出或，分两种情况：当时，，不能构成三角形；所以时，即可得出菱形的周长． 【解答】 解：如图所示： 四边形是菱形， ， ， 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： 当时，，不能构成三角形； 所以， 菱形的周长． 故选：． 变式6（4）.用十字相乘法解下列方程： ；． 【答案】(1)解：因式分解，得（x＋6）（x－2）＝0， ∴x＋6＝0或x－2＝0， ∴x1＝－6，x2＝2； (2)因式分解，得（y＋4）（3y－2）＝0， ∴y＋4＝0或3y－2＝0， ∴y1＝－4，． 考点7 适当方法解一元二次方程 例题7.选择适当的方法解下列方程： 是未知数 【答案】解：， ， ， ，， ，； ， 整理得：， ， ，， ，； ， ， ， ， ， ，； ， ， 开方得：， ，； ， ， ， ， ，； ， 整理得：， ， ，， ，； ， ， ， 不论为何值，， ， ， ，．  【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 除以，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 整理后求出的值，再代入公式求出即可； 整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 整理后求出的值，再代入求根公式求出即可． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法，配方法等等． 变式7（1）.选择适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】解：， ， ； ， ， ， ，； ，，， ， ， ，． ， ， ， ， ，  【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 利用求根公式法解方程； 利用配方法解方程． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 变式7（2）.选择适当的方法解下列一元二次方程． 【答案】解：， ，； ， ， 则， ； ， ， 则或， 解得，； ，，， ， 则， ，．  【解析】利用直接开平方法求解即可； 利用因式分解法求解即可； 利用因式分解法求解即可； 利用公式法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 考点8 整体思想解一元二次方程 例题8.为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，， 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，，． 以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： ； ． 【答案】(1)解：将2x＋5视为一个整体，设2x＋5＝y，则原方程化为y2－4y＋3＝0， 解此方程得y1＝1，y2＝3， 当y＝1时，2x＋5＝1， ∴x＝－2， 当y＝3时，2x＋5＝3， ∴x＝－1， ∴原方程的解为x1＝－2，x2＝－1；   (2)设x2＝y，则原方程化为y2－8y＋7＝0，解此方程得y1＝1，y2＝7， 当y＝1时，x2＝1， ∴x＝±1， 当y＝7时，x2＝7， ∴， ∴原方程的解为x1＝－1，x2＝1，，． 变式8（1）.解方程：． 【答案】解：设，则原方程可化为， 整理，得，解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为，．   变式8（2）.解方程：． 【答案】解：， 把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解之得：，， 或， ，．  【解析】设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 变式8（3）.解方程：；． 【答案】(1)换元  (2)①设x2＝y，则原方程可化为y2－y－6＝0，解得y1＝－2，y2＝3．当y＝－2时，x2＝－2，无实数根；当y＝3时，x2＝3，解得．∴原方程的根为，  ②设x2＋3＝a，则原方程可化为a2－9a＋20＝0，解得a1＝4，a2＝5．当a＝4时，x2＋3＝4，解得x＝±1；当a＝5时，x2＋3＝5，解得．∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1，，  变式8（4）.解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，当时，，解得；当时，，解得，所以原方程的解为，请利用这种方法解下列方程： ； ． 【答案】(1)解：设，则原方程可化为，， 解得，.当时，，解得； 当时，，解得. 原方程的解为，；   (2)设，则原方程可化为，， 解得，.当时，，方程无实数解； 当时，，解得，. 原方程的解为，. 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C  2.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  3.的根为(    ) A. B. ， C. ， D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程． 将移到方程的左边，提取，化成两个因式积的形式，从而可得答案． 【解答】 解：， ， 或 ，． 故选C． 4.一元二次方程的根是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  5.方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】解：， ， 因式分解得， 或， 解得，． 故选C． 利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程因式分解法． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.方程的根是          ． 【答案】，  7.方程的根为          ． 【答案】，  8.方程的左边因式分解后，原方程可化为          ． 【答案】  9.方程的解是          ． 【答案】，  10.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 【答案】  三、解答题：本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用因式分解法解下列方程：． 【答案】解： ， 或， ，； ， ， ，； ， ， ．  【解析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是能灵活运用一元二次方程的各种解法解方程． 本题用因式分解法解方程，左边提公因式化为，即可求解； 本题用因式分解法解方程，左边分解因式化为，即可求解； 本题用因式分解法解方程，先把方程整理成，然后把左边因式分解为，即可求解． 12.用适当的方法解方程： ；；． 【答案】(1)解：(x+3)2＝17，，∴，．  (2)3y(y-2)＝0．∴3y＝0或y-2＝0．∴y1＝0，y2＝2．  (3)a＝4，b＝3，c＝-2，Δ＝b2-4ac＝41＞0．∴．∴，．  13.已知实数满足，求代数式的值． 【答案】解：令，则原方程变为，分解因式得， 解得，，则有或， 在方程中，， 方程无实数解，那么， ．  14.已知，求的值． 【答案】解：设，则原方程变为， 整理，得，因式分解，得， 解得，，又， ，即．   15.请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，，此方程无实数解． 所以原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，．   【解析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确用换元法解方程的方法． 根据材料的提示，可以利用换元法解答，注意最后要验根． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04课 第二十一章一元二次方程21.2.3解一元二次方程-因式分解法人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识点一 因式分解的概念： 不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 知识点二 因式分解法解一元二次方程的步骤 ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点三 用合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 使用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x²=p或（mx±n）²=p（p≥0） 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若ab=0，则a=0或b=0 等号一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积的一元二次方程 考点1 形如ab=0形式的方程求解一元二次方程 例题1.一元二次方程的两根分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 变式1（1）.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. 和 D. 和 变式1（2）.方程的根为          ． 考点2 提单项式公因式法因式分解解一元二次方程 例题2.一元二次方程的根是     ． A. B. C. ， D. ， 变式2（1）.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 变式2（2）.方程的根是          ． 考点3 提多项式公因式法因式分解解一元二次方程 例题3.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 变式3（1）.一元二次方程的根是     ． A. B. C. ， D. ， 变式3（2）.方程的根为          ． 考点4 平方差公式法因式分解解一元二次方程 例题4.用因式分解法解一元二次方程，可分解得(    ) A. B. C. D. 变式4（1）.一元二次方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 变式4（2）.方程的左边因式分解后，原方程可化为          ． 变式4（3）.解方程：．解：运用平方差公式分解因式，得          ，          或          ，解得           ，           ． 考点5 完全平方公式法因式分解解一元二次方程 例题5.写出下列一元二次方程的根．           变式5（1）.方程的解是           ． 变式5（2）.解方程：．解：运用完全平方公式分解因式，得          ，          ． 考点6 十字相乘法因式分解解一元二次方程 例题6、【问题背景】：我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解，即如：“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程． 【问题探究】：根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得，等式右边的两个一次二项式的系数有关系，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边上、下角两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法” 【解答问题】：请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： 填空： 因式分解：           解方程：，左边因式分解得                    ，           ，           解方程：． 变式6（1）.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 或 变式6（2）.已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 变式6（3）.已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为，则这个菱形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 变式6（4）.用十字相乘法解下列方程： ；． 考点7 适当方法解一元二次方程 例题7.选择适当的方法解下列方程： 是未知数 变式7（1）.选择适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 变式7（2）.选择适当的方法解下列一元二次方程． 考点8 整体思想解一元二次方程 例题8.为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，， 当时，，， 当时，，， 原方程的解为，，，． 以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： ； ． 变式8（1）.解方程：． 变式8（2）.解方程：． 变式8（3）.解方程：；． 变式8（4）.解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，当时，，解得；当时，，解得，所以原方程的解为，请利用这种方法解下列方程： ； ． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的根是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 2.一元二次方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 3.的根为(    ) A. B. ， C. ， D. 4.一元二次方程的根是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.方程的根是          ． 7.方程的根为          ． 8.方程的左边因式分解后，原方程可化为          ． 9.方程的解是          ． 10.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 三、解答题：本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.用因式分解法解下列方程：． 12.用适当的方法解方程： ；；． 13.已知实数满足，求代数式的值．  14.已知，求的值．  15.请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，，此方程无实数解． 所以原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$