2.2 平方根与立方根 课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件系统覆盖平方根与立方根的概念、性质、运算及估算，通过数的分类复习有理数与无理数，结合图形填空与实际问题搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生逐步深入。 其亮点在于融入数学眼光（从实际问题抽象数量关系）、数学思维（用夹逼法估算培养推理能力）和数学语言（符号表示平方根立方根），如梯子靠墙问题、公园面积估算等实例，帮助学生发展抽象能力与运算能力，教师可借助结构化流程和多样化例题提升教学效率。

课时1 算术平方根 2.2 平方根与立方根 22201 1.了解算术平方根的概念及其性质。 2.会求一个数的算术平方根。 学习目标 22201 2 0.351 π 1.41421356… 18 3.14159 将下列各数分类 有理数： 无理数： 判断一个数是不是无理数，关键就是看它： 能不能写成无限不循环的小数. 无限不循环小数叫无理数. 无理数 新课导入 22201 根据图形进行填空： x2=______ 2 z2=______=_____ y2+1 w2=______=_____ z2+1 y2=______=_____ x2+1 3 4 5 x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数，你能表示它们吗？ w 1 新知探究 22201 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根. 我们知道，如果x2=a，则a叫作x的平方，那么x叫作a的什么呢？ 例：3²=9 3是9的算术平方根 x²=3(x＞0) x是3的算术平方根 如何表示x呢？ 新知探究 22201 x²=a (x≥0) a的算术平方根 读作“根号a” 互为 逆运算 被开方数 (a≥0) 怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？ 平方根号 新知探究 22201 x2=______ 2 z2=______=_____ y2+1 w2=______=_____ z2+1 y2=______=_____ x2+1 3 4 5 x是无理数 x=______ y =______ z =____ =_____ w =______ y是无理数 z是有理数 w是无理数 2 现在你能说出x，y，z，w中哪些是有理数，哪些是无理数吗？ 新知探究 22201 一个正数的算术平方根只有一个，且一定为正数； 负数没有算术平方根，即当 有意义时，a≥0； 一个正数有几个算术平方根？负数有算术平方根吗？0有算术平方根吗？ 我们规定：0的算术平方根是0，即 . 算术平方根是它本身的数只有0和1. 新知探究 22201 a 的算术平方根 a≥0 是什么数？其中a可以取任何数吗？ 算术平方根的双重非负性 也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.负数不存在算术平方根，即当a<0时， 无意义. 非负数 非负数 新知探究 22201 解：(1) 因为302=900，所以900的算术平方根是30， 即 (2) 因为12=1，所以1的算术平方根是1，即 =1； (3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ； (4) 14的算术平方根是 . 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14. 典型例题 22201 探究 (1)在上面例 1 中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? (2)在上面例 1 中，＝30,也就是 ＝30。一般地，当a≥0时，＝a 成立吗? 这些数正好是某个正有理数的平方 a＜0时，＝a 成立吗? ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； 2 3 0.5 当 a≥0 时，＝a 新知探究 22201 ＝ ；＝ ；＝ ；＝ 。 2 3 0.5 当 a＜0 时，＝－a (3)()²＝a 成立吗?这里的 a 是什么数?你是怎么理解的? ()2＝ ； ()2＝ ； ()2＝ ； ()2＝ 。 2 0.5 0 不成立 当 a≥0 时，()²＝a 新知探究 22201 例2 由静止自由下落的物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s=19.6代入公式 s=4.9t2， 得t2=4，所以t= =2(s). 即铁球到达地面需要2 s. 求4的算术平方根 典型例题 22201 例3 解： 解得m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0. 到目前为止，我们学习的表示非负数的式子有：|a|≥0；a2 ≥ 0； 当a ≥ 0 时， 典型例题 22201 1.判断： (1) 5是25的算术平方根( )； (2) -6是36的算术平方根( )； (3) 0的算术平方根是0( )； (4) 0.01是0.1的算术平方根( )； (5) -5是-25的算术平方根( ). 当堂检测 22201 3. 的算术平方根是( ) A.2 B.2 C. D. C 2. 9的算术平方根是( ) A.3 B.-3 C.81 D.-81 A 当堂检测 22201 4.求下列各数的算术平方根. (1)100； (2) (3)0.0001. 解：(1)因为10²100，所以100的算术平方根是10，即10. (3)因为0.01²=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01， 即0.01. (2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 = . 当堂检测 22201 算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根. 如果一个正数x的平方等于a，即x²a,那么这个正数x叫作a的算术平方根，a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫作被开方数. 算术 平方根 应用： 几个非负数的和为0，则每个数均为0. 概念： 的双重非负性： 即 . 课堂小结 22201 课时2 平方根 2.2 平方根与立方根 22201 1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根； 2.了解平方根与算术平方根的区别与联系； 3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根. 学习目标 22201 20 1．什么是算术平方根？ 2．我们已经学习过哪些运算？哪些互为逆运算？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 加法、减法、乘法、除法、乘方．加法、减法互逆，乘法、除法互逆 新课导入 22201 思考并回答下列问题： (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？ 存在；－3的平方也是9. 因此平方等于9的数有两个，3和－3. (2) 平方等于的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 平方等于 的数有两个，分别是 和 － ； 若一个负数的平方等于a，则这个负数应该称作a的什么呢？ 平方等于0.64的数有两个，分别是 0.8 和 －0.8 . 新知探究 22201 一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数x就叫作 a 的平方根或二次方根. 例如：3 和 3 是 9 的平方根，简记为 3 是 9 的平方根. 不要丢掉负的平方根哦. 新知探究 22201 x x2 1 4 0.8 1 1 4 0.8 16 0.64 找出对应于 x的平方的数. 平方 新知探究 22201 尝试·思考：一个正数有几个平方根？0 有几个平方根？负数有平方根吗？ 负数没有平方根. 0 只有一个平方根，它是0本身. 9的平方根是： +3和3 正数有两个平方根，它们互为相反数. 新知探究 22201 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 .它们互为相反数.这两个平方根合起来记作 ，读作“正、负根号a”. 读作：正、负根号 a 正数 a 的平方根表示为： 新知探究 22201 平方根与算术平方根的联系与区别： 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示方法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为 . 联系 区别 新知探究 22201 1 4 9 +1 1 +2 2 +3 3 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，其中a叫作被开方数.平方与开平方互为逆运算. 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算. 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？ x x2 新知探究 22201 解:(1)因为 (8)2 = 64，所以 64的平方根是8，即 (3)因为(0.02)2 = 0.0004， 所以 0.0004 的平方根是0.02，即 (2)因为 ( )2 = ，所以 的平方根是 ，即 例1 求下列各数的平方根： (1) 64 ； (2) ； (3) 0.0004； (4)(-25)2 ； (5)11. 新知探究 22201 解:(4)因为 (25)2 =(-25)2，所以(-25)2的平方根是25， 即 (5)11的平方根是 例1 求下列各数的平方根： (1) 64 ； (2) ； (3) 0.0004； (4)(-25)2 ； (5)11. 新知探究 22201 例2 求下列各式的值： (1) ；(2)－；(3) ； (4) . 解：(1) = =15； (2) － = － = －； (3) = 8； (4) = 0； 你能发现规律并用字母表示吗？ 当a≥0时， =a； 当a＜0时， =－a. 新知探究 22201 例3 若一个正数的平方根分别为a-2和2a-1,求a和这个正数的平方根. 解：因为一个正数的两个平方根互为相反数, 所以a-2+2a-1=0, 解得a=1. 因为a-2=1-2=-1; 2a-1=2-1=1 所以 这个正数的平方根为±1. 新知探究 22201 1．关于平方根，下列说法正确的是(　　) A．任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数. B．负数没有平方根. C．任何一个数只有一个算术平方根. D．以上都不对. B 当堂检测 22201 2.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)49的平方根是7； (2)2是4的平方根； (3)5是25的平方根； (4)64的平方根是8； (5)16的平方根是4. 一个正数有两个平方根. 负数没有平方根. 当堂检测 22201 3.求下列各数的算术平方根和平方根. (1)(11)2； (2) . 解：(1)(11)2 =121，它的算术平方根是 11，平方根是 11. (2) =4 ，它的算术平方根是 2，平方根是 2. 当堂检测 22201 概念： 平方根 性质： 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根或二次方根. 0 的平方根还是0. 负数没有平方根. 课堂小结 22201 36 2.2 平方根与立方根 课时3 立方根 22201 1.了解立方根的概念，会表示一个数的立方根； 2.了解平方根与立方根之间的区别； 3.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一个数的立方根. 学习目标 22201 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根或二次方根，记为“ ”，读作“正负根号a”. 平方根 的含义： . a的平方根 平方根 的性质 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 0的平方根是0；负数没有平方根. 新课导入 22201 问题：如图是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为 216 cm3，那么每个小立方块的棱长是多少？ a 27a3 = 216 a3 = 8 因为23 = 8，所以 a = 2 新知探究 22201 一般地，如果一个数x的 等于a，即 ，那么这个数x就叫作a的 （也叫作 ）. 立方根 是 的立方根 立方 x3=a 立方根 三次方根 平方 x2=a 平方根 二次方根 试一试，你能给出立方根的定义吗？ 平方根 例： 23=8 2是8的立方根 03=0 0是0的立方根 新知探究 22201 （1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ （2）求 8，0，－27 的立方根。 （3）正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数呢？ 23 = 8 03 = 0 (－3)3 = －27 尝试·思考 新知探究 22201 （3）正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 0的立方根是0. 立方根的性质 任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的！ 唯一性 同号性 新知探究 22201 平方根 立方根 负数 零 被开方数 正数 无平方根 有一个，是负数 有两个，互为相反数 有一个，是正数 0 0 平方根与立方根的个数的异同 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0. 新知探究 22201 每个数a都只有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”. 怎么用符号来表示一个数的立方根呢？ 例： x3=7 x是7的立方根 23=8 2是8的立方根 ，即x= ，即 =2. 新知探究 22201 x3=a x= a的立方根 读作：三次根号a 互为 逆运算 被开方数 立方根号 根指数 （数字3绝不可省略） 怎么用符号来表示一个数的立方根呢？ 新知探究 22201 类似开平方运算，求一个数a的立方根的运算叫作“开立方”，a叫作被开方数. 8 125 125 +2 2 +5 5 8 立方 开立方 开立方 “开立方”与“立方”互为逆运算！ 新知探究 22201 正数的立方根是正数， 0 的立方根是 0， 负数的立方根是负数。 写出下列各数的立方根： －3， －1， 0， 1， 3 －1 0 1 新知探究 22201 例1 求下列各数的立方根： (1) -27 ； (2) ； (3) 0.216； (4)-5 . 解:(1)因为 (-3)3 = -27，所以 -27的立方根是-3，即 (3)因为0.63 = 0.216， 所以0.216的立方根是0.6，即 (2)因为 ( )3 = ，所以 的立方根是 ，即 (4) -5的立方根是 新知探究 22201 （1）在例 1 中，一些数的立方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点？ （2）在例 1 中， ，也就是 。 一般地， 成立吗？ （3） 成立吗？与同伴进行交流。 对于任何数 a， 思考·交流 22201 例2 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) (3) (2) (4) 新知探究 22201 你能说出平方根与立方根的联系与区别吗？ 1.开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算. 2.都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即 . 3. 0的平方根和立方根都是0. 1.在用根号表示时，根指数2可以省略，根指数3不能省略. 2.平方根只有非负数才有，正数的平方根有两个；而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根. 联系 区别 新知探究 22201 1 .下列说法： ①正数都有平方根；②负数都有平方根； ③正数都有立方根；④负数都有立方根． 其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2．4的平方根是x，27的立方根是y，则x＋y的值为( ) A．2 B．3 C．5或1 D．5或－1 C 当堂检测 22201 3.下列说法对不对？ (1) -4没有立方根. (2) 1的立方根是±1. (3) -5的立方根是 . (4) 64的算术平方根是8. (5) 正数有两个立方根，负数没有立方根. 当堂检测 22201 4.求下列各式中x的值. (1)x30.125 ； (2) (x1)380 ； (3) 4(x1)3256. 解：(1) (2) (3) 当堂检测 22201 5.若 =2， =4，求 的值. 解：因为 =2， =4. 所以x = 23，y2 = 16, 所以x = 8，y = ±4. 所以 x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. 所以 = = 4 或 = = 0. 当堂检测 22201 概念： 立方根 性质： 正数的立方根是正数. 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作 a 的立方根或三次方根. 负数的立方根是负数. 0 的平方根是0. 规律： 课堂小结 22201 57 2.2 平方根与立方根 课时4 估算 22201 1.能通过估算检验计算结果的合理性. 2.能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小. 3.掌握计算器的基本使用方法，会用计算器求平方根和立方根. 学习目标 22201 一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数x就叫作 a 的平方根或二次方根．记作 平方根 立方根 一般地，如果一个数x的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数x就叫作 a 的立方根．记作 　 a为非负数 a可取任何数 平方根和立方根中被开方数的取值有限制吗？ 新课导入 22201 求下列各式的值． 25的算术平方根 5 17的平方根 的平方根 8的立方根 2 -28的立方根 新课导入 22201 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2． (1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ 因此，公园的宽没有1 000米． 公园的面积S=2 000×1 000=2 000 000(m2) 2 000 000>400 000 解：因为荒地的长是宽的2倍，假设宽是1 000 m，则长是2 000 m． S=400 000 m2 新知探究 22201 S=400 000 m2 因此，公园的宽大约是450米． 解：设宽为x米，则长为2x米． 荒地面积 S=2x·x=2x2=400 000 解得：x= ≈450 分析：求无理数 的大致取值． x2=200 000 2x x 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2． (2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？ 新知探究 22201 S=800 m2 r 解：设圆形花圃的半径为r． 则花圃面积 S=πr2=800 解得 r= 800除以3.14约等于255，大约为16的平方． 所以圆形花圃的半径大约是16米． 分析：求无理数 的大致取值． 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个环保主题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2． (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(精确到1 m) 新知探究 22201 (1)下面的计算结果正确吗？你是怎么判断的？与同伴进行交流. 解：因为 0.0662=0.004356，所以 不正确． 因为 963=884736，所以 不正确． 因为 60.42=3648.16，所以 不正确． 通过“精确计算”可比较两个数的大小． 思考·交流 22201 (1)下面计算结果正确吗？你是怎么判断的？与同伴进行交流. 解：因为 因为60.4>60，602=3600， 通过“估算”也可比较两个数的大小． 以上计算结果都不正确． 思考·交流 22201 (2)你能估算 的大小吗？（结果精确到1） 解：因为729<900<1000，所以 ． 即9< <10， 的整数部分是9． 乘方和开方为互逆运算．乘方和开方的运算，有助于我们对于无理数的取值进行估算． 又因为 ，所以 新知探究 22201 (3) 宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”. 你能比较 与 的大小吗？你是怎样比较的？ 解：因为 所以 所以 所以 思考·交流 22201 估算无理数 的大小．（结果精确到0.1） 解：因为 ，即 所以 的整数部分是3． 因为 ，即 又因为 更接近，所以 新知探究 22201 估算法确定无理数的大小 先平方运算或立方运算； 采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分． “精确到” 与“误差小于”意义不同： 如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一． 1 2 注意 新知探究 22201 例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？ 6米 分析 梯子的长度、梯子底端离墙的距离和梯子顶端能达到的高度构成直角三角形，利用勾股定理求出梯子顶端能达到的高度即可． 典型例题 22201 例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定．现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ， 根据勾股定理，有 因为5.62=31.36<32，所以 >5.6． 6米 因此，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头． 22201 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001): ① ②. 对于开平方运算，按键顺序为： 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 ＝ 被开方数 ＝ Shift 尝试·思考 22201 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001): ① ②. 结果为：2.4269 . ①按键顺序为： ＝ 5 . 8 9 结果为：－10.8718 . ②按键顺序为： － 1 2 8 5 ＝ Shift 22201 (2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律. 对于任意大于 1 的正数，多次开平方后结果逐渐趋近于 1，但始终大于 1； 对于任意小于 1 的正数，多次开平方后结果逐渐趋近于 1，但始终小于 1. 尝试·思考 22201 A 1．估算 -3的值(　　) A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 解析：因为42<19<52，所以4< <5，所以1< -3 <2． 估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间． 当堂检测 22201 2．一块面积为10 m2的正方形草坪，其边长(　　) A．小于3 m B．等于3 m C．在3 m与4 m之间 D．大于4 m C 3．已知 则下列大小关系正确的是 (　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b A 当堂检测 22201 4．通过估算比较下列各组数的大小． 解： (1) 因为5>4，所以 ，所以 (2) 因为6>4，所以 ，所以 当堂检测 22201 估算法确定无理数大小的方法： 估 算 先平方运算或立方运算； 采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分． 1 2 用计算器进行开方运算 课堂小结 22201 $