2.1 认识实数 课件 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2.1 认识实数 课时1 无限不循环小数 22201 1．通过拼图活动，感受不是有理数的数产生的实际背景和引入的必要性. 2．借助夹逼法估计不是有理数的数的大致范围，体会无限逼近数学思想. 学习目标 22201 2 数和 数统称为有理数. 分数分为 . 整数分为_____________________. 整 分 正整数、0、负整数 正分数、负分数 什么是有理数？ 有理数是如何分类的呢？ 新课导入 22201 整数 正整数：如：1，2，3，… 零：0 负整数：如：1，2，3，… 分数 正分数：如 ， ，5.2， … 负分数：如 ， ，3.5，… 除了有理数外还有没有其他的数？ 有 理 数 新课导入 22201 1 1 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 拼法一： 活动探究 22201 拼法二： 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 活动探究 22201 拼法三： 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 活动探究 22201 (1)设大正方形的边长为 a，a满足什么条件？ S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， 所以 S大正方形=2； 根据正方形面积公式：S大正方形=a2 所以 a2=2. 分析：一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1. 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 活动探究 22201 (2) a可能是整数吗？说说你的理由. 因为 a2=2， 而12=1， 22=4， 32=9… 所以 12<a2<22 ， 1< a< 2 所以 a不是整数. a a a a 从“数”的角度： 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 活动探究 22201 在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系，斜边AB满足： AC-BC< a<AC+BC 即0<a<2，且 a≠1，所以 a不是整数 C A B 1 1 a 取出一个三角形 (2) a可能是整数吗？说说你的理由. a a a a 从“形”的角度： 活动探究 22201 (3)a可能是分数吗？说说你的理由.并与同伴进行交流. ， ， … 从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数， 所以 a不是分数. 分析： 活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 活动探究 22201 在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 活动探究 22201 2 1 解：(1)设直角三角形的斜边长为b， 根据勾股定理得：b2=12+22=5， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 所以以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. b S b b b (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 尝试·思考 22201 解：(2)因为正方形的边长为b， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 而S正方形=5，得出b2=5 所以b满足 b2=5. b b b b S (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 2 1 尝试·思考 22201 解：(3)因为b2=5，4<b2<9 ，所以 2<b<3， 所以b不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而b2=5是整数，所以b不是分数. b既不是整数，也不是分数，那么b一定不是有理数. 2 1 (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 尝试·思考 22201 数a，b确实存在，但都不是有理数. 2 1 b a2=2 b2=5 a a a a 1 1 1 1 b b b 活动探究 22201 能不能确定一下a的大致范围？ 因为 a2=2， 而12=1， 22=4，··· 所以 12<a2<22 ， 1< a< 2， 而1.52=2.25， 2.25＞2 所以a的值一定小于1.5 所以a的大致范围在1~1.5之间. 分析 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 思考·交流 活动探究 22201 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ (1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 1 a 面积为2 1 a 2 2 通过观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1<a<2. 活动探究 22201 (2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 借助计算器探索，用表格的形式整理. a a的平方 2.25 1.96 2.1025 2.0449 2.0736 2.0164 1.9881 2.002225 1.999396 2.00052736 2.00024449 2.00081025 1.4 1.5 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.415 1.414 1.4145 1.4144 1.4143 活动探究 22201 边长a 面积S 1< a <2 1< S <4 1.4< a <1.5 1.96< S <2.25 1.41< a <1.42 1.9881< S <2.0164 1.414< a <1.415 1.999396< S <2.002225 1.4142< a <1.4143 1.99996164< S <2.00024449 a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4. 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ (2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 借助计算器探索，用表格的形式整理. 活动探究 22201 边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？ 假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数， 而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数. 活动探究 22201 (3)面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？ 利用刚刚的方法可以算得：b=2.236067977…， 它不是有限小数. 活动探究 22201 在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数. 在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数. a ，b都不是整数，也不是分数，是无限不循环小数. 活动探究 22201 因为1<h2<4 ，所以 1<h<2，所以h不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而h2=3是整数. 所以h不是分数. 例 如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 2 h A B C D 解：因为△ABC是等边三角形，AD ⊥BC 所以D是BC的中点，且BC=2 所以BD=CD=1 在Rt△ABD中，由勾股定理得： h2=22 -12=4-1=3 h不可能是整数，也不可能是分数. 典型例题 22201 不是有理数的数 如果一个数既不是整数，也不是分数，那么这个数一定不是有理数. 若a2=2，b2=5，则数a，b确实存在，但都不是有理数. 如何判断一个数是否为有理数： 注意： 课堂小结 22201 解析：因为a2=17， 而42=16， 52=25， 62=36··· 所以 42<a2<52 ， 4< a< 5； 所以a不是整数. 因为 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=17是整数， 所以a不是分数. 所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.故选D. 1.已知a2=17，则a是(　　) A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 D 当堂检测 22201 2. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形 解析：假设正方形边长为a， 选项A：面积为25的正方形的边长是5，而5是有理数，排除A选项； 选项B：面积为的正方形的边长是，而是有理数，排除B选项； 选项C：面积为8的正方形中的边长满足：S正方形=a2=8， 因为 a2=8， 而22=4， 32=9， 42=16··· 所以 22<a2<32 ， 2< a< 3所以 a不是整数. C 当堂检测 22201 因为 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=8是整数， 所以a不是分数. 所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数. 选项D：面积为1.44的正方形的边长是1.2，而1.2是有理数，排除D选项；故选C. 2. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形 C 当堂检测 22201 3.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 解析：如图：AB=1，AD=3， 根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5， 所以线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段. B A D E C 根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2，因为 1<AC2<4 ， 所以 AC不是整数； 因为两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2， 所以 AC不是分数，即AC为长度不是有理数的线段.同理可得：BE，CD为长度不是有理数的线段. 当堂检测 22201 29 2.1 认识实数 课时2 实数 22201 1.了解无理数的基本概念。 2.了解实数的意义，能对实数按要求分类。 3.了解实数范围内相关概念的意义。 4.了解实数与数轴上点的一一对应关系，能用数轴上的点表示 无理数。 学习目标 22201 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 不是有理数的数都是无限不循环小数吗？ 3， ， ， ， 。 4 5 5 9 8 45 2 11 = 0.8 = 0.5 · = 0.18 · · = －0.17 · 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 3 = 3.0 活动探究 22201 如圆周率 π = 3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数. 再如 0.585 885 888 588 885…（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1）也是无理数. 而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数. 无限不循环小数称为无理数. 归纳总结 活动探究 22201 无理数和有理数的区别： 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 都能写成分数的形式（整数可以写成分母是 1 的分数） 是无限不循环小数 不能写成分数的形成 活动探究 22201 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 2）. 例 有理数 无理数 有理数和无理数统称实数 活动探究 22201 3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 2）. （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 尝试·思考 22201 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ ①按概念分类： ②按性质符号分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 实数 正实数 负实数 正有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 负有理数 负无理数 0 正无理数 尝试·思考 22201 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 名称 表示 性质 相反数 绝对值 倒数 实数 a 的相反数是 －a a，b互为相反数 a+b=0 实数 a 的绝对值表示为 |a| （2）|a| ≥ 0 （3）| a | = | －a | a与 互为倒数（其中 a ≠ 0） 1 a （1）|a|= a（a>0） 0（a=0） －a（a<0） （2）正数的倒数是正数，负数 的倒数是负数，0没有倒数 （1）ab互为倒数 ab=1 22201 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 22201 思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？你能在数轴上找到表示无理数的点吗？ 活动探究 22201 前面讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a2=2，b2 = 5. （1）如图，OA = OB，数轴上点 A 对应 a，b 中的哪个数？ 0 1 2 3 －1 1 B A 思考·交流 22201 （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 0 1 2 3 －1 1 C D 思考·交流 22201 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 归纳总结 22201 1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 0.4583，3.7，－π，－ ，18。 . 1 7 有理数 无理数 当堂检测 22201 2. 比较 －3.14 与 －π 的大小。 π = 3.141 592 65… 3.14 < π －3.14 > －π 当堂检测 22201 3. a 是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？ 若 a ≠ 0，则它的倒数如何表示？ a 是一个实数，它的相反数为－a， a，a > 0 0，a = 0 －a，a < 0 它的绝对值为 若 a ≠ 0，则它的倒数为 。 1 a 当堂检测 22201 认识实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样 实数与数轴上的点一一对应 课堂小结 22201 $