3.6.3 余角和补角 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“余角和补角的定义与性质”核心知识点，以学生熟悉的三角板锐角和为90°直观导入余角概念，通过定义辨析、符号语言转化及基础计算形成概念支架，再以问题链引导探究同角（等角）余角性质，类比迁移至补角学习，构建“具体-抽象-应用”知识脉络。 此资料亮点在于以几何直观（三角板）培养数学眼光，通过推理问题链发展推理能力，类比探究补角渗透创新意识，实际问题（围墙角度测量）强化应用意识。助力学生提升运算与逻辑推理能力，为教师提供分层作业设计参考，高效落实教学目标。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 秋季 课题 3.6.3 余角和补角 作者姓名 工作单位 教学目标 1. 通过的三角板引出余角的定义和性质，理解互为余角的概念，掌握其符号语言表述，并能应用其进行简单的运算，初步培养说理能力. 2. 经历观察，类比，探究等学习活动，理解互为补角的概念，掌握补角的性质，体会类比迁移的学习方法，提高观察分析和类比探究的能力，发展空间观念. 3.能应用余角和补角的定义和性质解决一些简单的实际问题，培养应用意识. 教学内容 教学重点： 掌握余角和补角的定义和性质并运用其进行简单计算. 教学难点： 运用余角和补角的性质进行简单的逻辑推理. 教学过程 教学环节 主要师生活动 1.新课引入 提出问题：三角板是我们常见的几何作图工具，大家知道在一副三角板中两个锐角都是多少度吗？它们之间有怎样的数量关系吗？ 师生活动：教师提出问题，由学生总结三角板的两个锐角相加为90° ，引出余角的定义 【设计意图】通过学生熟悉的三角板引入新课，让学生更能直观地感受两角之间数量关系，理解定义。 2.形成概念 引出定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（简称互余），其中一个角是另一个角的余角.例如下图中，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角. 强调：互余是两角之间的数量关系， 余角是成对出现的 符号语言可以表示为： 如果 ∠1＋∠2=90°， 反之 如果∠1与∠2互为余角， 那么∠1与∠2互为余角. 那么∠1＋∠2=90°. 练一练 1.考考你，图中给出的各角中，哪些互为余角？ 2.一个角是50°17′，求它的余角. 解：由余角的定义可得： 这个角的余角为：90°－50°17′=39°43′. 3. ∠𝛼与它的余角相等，求∠𝛼的度数. 解： ∠𝛼的余角可表示为90°－ ∠𝛼. 根据题意，列方程：90°－ ∠𝛼＝∠𝛼 ， 2∠𝛼＝90°， ∠𝛼＝45°. 【设计意图】通过利用余角的定义进行计算，及时巩固定义，深化对定义的理解，提高学生的运算能力。 3.探究性质 思考1：如图，如果∠1和∠2互为余角，∠2和∠3互为余角， 那么∠1和∠3的大小有什么关系？ 解：∵ ∠1和∠2互为余角， ∠2和∠3互为余角， ∴∠1=90°－ ，∠3=90°－ ， ∴ = . 符号语言：如果∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，那么∠1=∠3. 结论：同角的余角相等. 思考2：如图，如果∠1和∠2互为余角，∠3和∠4互为余角， 其中∠1=∠3，那么∠2和∠4的大小有什么关系？ 解：∵ ∠1和∠2互为余角， ∠3和∠4互为余角， ∴∠2=90°－ ，∠4=90°－ ， 又∵ ∠1=∠3，∴ = . 符号语言：如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°， 其中∠1=∠3，那么∠2=∠4. 结论：等角的余角相等. 余角的性质：同角（等角）的余角相等. 【设计意图】通过简单的说理得出余角的性质，初步培养学生的几何探究能力和说理能力. 4.类比探究 提出任务：类比余角，结合学习任务单上的问题，自主探究补角的定义和性质，并思考其说理过程. 定义：如果两个角的和等于 （ 角）， 就说这两个角互为补角（简称互补）. 图形语言： 符号语言：如果∠1＋∠2= °，反之，如果∠1与∠2 ， 那么∠1与∠2 . 那么∠1＋∠2= °. 性质：同角（等角）的补角 . （同角的补角相等） 解：∵ ∠1和∠2互为补角， ∠1和∠3互为补角， ∴∠2=180°－ ，∠3=180°－ ， ∴ = . 符号语言：如果∠1＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，那么 = . 【设计意图】通过学生自主完成任务单，调动已有的学习经验，类比得出补角的定义和性质，培养学生的类比迁移的学习能力. 练一练 1.考考你，图中给出的各角中，哪些互为补角？ 2.互补的两个角是否都是锐角？能否都是直角？能否都是钝角？ 解：由互补的定义可知： 两个角不能都是锐角，因为两个锐角的和小于180°； 可以都是直角，因为两个直角的和为180°； 不能都是钝角，因为两个钝角的和大于180°. 3. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数， 但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？ 解：延长BO至点C，先量出∠AOC的度数， 再用180°减去∠AOC的度数即可. 【设计意图】及时巩固补角的定义，对学生的自学效果进行检验，通过解决生活中的问题，让学生体会生活中处处皆数学，培养数学应用意识. 5.巩固练习 1.如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOC＝∠DOE＝90°，则图中与 ∠BOD互余的角是　∠COD或∠BOE 　，与∠DOE互补的角是 　 ∠AOC或∠BOC 　　． 2. 如图，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，求∠FEG的度数， 并写出∠FEB的余角. 解：因为EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线， 由角平分线的定义可得： ∠BEF=∠AEF =∠AEB ， ∠BEG=∠GEC =∠BEC ， 所以∠FEG=∠BEF+∠BEG = ∠AEB ＋∠BEC = （ ∠AEB ＋ ∠BEC ）= 90°； 再根据余角的定义，∠FEB的余角为∠BEG和∠GEC. 3. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上， ∠ADC=∠ADB＝90°.除直角以外，图中有几对相等的角？说明理由. 解：由∠BAC=90°，∠BAC＋∠B＋∠C=180°， 可得∠B+∠C=90°. 由∠ADC=90°，可得∠CAD+∠C=90°. 由∠ADB= 90°，可得∠B+∠BAD=90°. 根据余角的性质可得： ∠B=∠CAD， ∠BAD=∠C. 【设计意图】及时巩固新知，根据余角和补角的定义，在具体图形中辨识余角和补角，运用余角和补角的性质证明两个角相等. 6.课堂小结 【设计意图】在知识层面，引导学生梳理本节课主要学习内容；在方法层面，引导回顾数形结合思想和类比迁移的学习方法，积累数学活动经验； 在核心素养层面，在运算能力，推理能力和几何直观素养等方面都得到了相应的提升. 7.课堂检测 1. 已知∠A＝72°20′，则∠A的余角的度数是（ B ） A．18°40′ B．17°40′ C．107°40′ D．108°40′ 2. 互为补角的两个角的比是3：2，则较小角的余角等于（ A ） A．18° B．54° C．108° D．144° 可运用方程思想解决：设这两个角分别为3x°和2x°，根据补角定义得： 3x＋2x=180，解得x=36. 故两角分别为108°和72°. 则较小角的余角为：90°－72°=18°. 【设计意图】检测学生对本节课基本知识的掌握程度. 8.作业布置 完成资料包里的分层作业 【设计意图】设置分层作业，满足不同程度、不同情况学生的学习需求. 学科网（北京）股份有限公司 $