湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期质量检测（二）数学试题

襄阳四中2023级高三上学期质量检测（二）

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足，则（   ）

A． B．1 C．2 D．

2．已知集合，，则的真子集的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若函数偶函数，则实数（   ）

A．1 B． C．－1 D．

4．已知，，则（   ）

A． B． C． D．

5．已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为．则他第一发命中，第二发未命中的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

 

7．双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（   ）

A． B． C． D．

8．点在所在的平面内，，，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分．

9．今年是祖国的七十五华诞，为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育.我校积极举行了一场“喜迎国庆 强国有我”知识竞答比赛，全校共名学参赛，比赛结束后，将这名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按，，，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（   ）

A．

B．估计样本的第分位数为分

C．若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分

D．按分层随机抽样与内的学生中抽人，则内被抽取到的学生人数为

10．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ）

A．

B．

C．的解集为

D．

11．已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）

A．n为偶数时， B．

C． D．的最大值为20

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为______.

13．已知，其中，，则的最小值为______.

14．若为正实数，且在上单调递减，则的最大值为______.

 

 

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．已知在中，角，，的对边分别是，，，若，.

（1）求；

（2）若的周长为，是内一点，且，求面积的最大值.

 

 

 

 

16. 如图所示，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，．

 

（1）求证：平面；

（2）点M在线段上运动，当点M在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

 

 

17．已知椭圆经过两点，其左、右焦点分别为，且焦距为有理数，点为椭圆上异于的动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与分别交直线于两点，证明：直线和的斜率之积为定值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进2个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，甲队踢进足球为事件，乙队踢进足球为事件．

（1）求，；

（2）经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为，求的概率分布列及数学期望；

（3）求恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．对三元数组，若存在唯一实数d，使得a，b，c，d的某种排列成等差数列，则称为准差数组．已知递增数列满足，且对任意，是准差数组．

（1）求的所有可能值；

（2）若对任意，，求的通项公式；

（3）若，证明：m为奇数．