第1章一元二次方程能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

第1章一元二次方程能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

 

一、单选题

1．有下列方程：；；；；；．其中，是一元二次方程的有（   ）

A．①②③ B．②③④ C．①②⑥ D．①④⑥

2．如果关于x的方程有一根为，则p、q应满足（    ）

A． B． C． D．

3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ）

A．5 B． C．1 D．

4．用配方法解一元二次方程时．原方程应变形为（    ）

A． B． C． D．

5．若关于x的方程的根为b，则的值为（    ）

A．5 B． C．4或 D．5或

6．设、是方程的两个根，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ）

A．且 B．且

C． D．且

8．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．方程的解是       ．

10．已知方程，则           ．

11．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛两场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排6天，每天安排5场比赛，设比赛组织者邀请x个队参赛，则可列方程为       ．

12．非零实数满足，则           ．

13．若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为      ．

14．已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为       ．

15．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是      ．

 

三、解答题

16．解方程．

(1)（配方法）．

(2)（公式法）．

(3)（因式分解法）．

17．已知关于的一元二次方程有实数根．

(1)求的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

18．解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程．

甲同学：

两边同时除以，

得，

则．

乙同学：

移项，得，

提取公因式，得，

则或，

解得．

(1)解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）；

(2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程．

19．关于 x 的一元二次方程有实数根．

(1)求 k 的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值．

20．某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理．

(1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？

(2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？

21．配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．

【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．

【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．

解：

当时，的最小值为2．

请通过阅读以上材料，解决以下问题：

【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60．