特训11 中考压轴题热点（第1-2章，情景探究、图表素材题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训11 中考压轴题热点（第1-2章，情景探究、图表素材题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·开学考试）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 4．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　 ， °； (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ； (4)实践应用： 如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目∶ 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结，作等边（A，B，C 为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路∶在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 8．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）解题与遐想． 如图，的内切圆与斜边相切于点， ，． 求：的面积．    王小明： 这道题算出来面积刚好是，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉 赵丽华： 我把和换成、再算一遍，的面积总是！确实非常神奇了 数学刘老师： 大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳： 刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 拼图演绎 (1)将分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注．        (2)尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）    10．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹） 11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 12．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 13．（22-23九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 15．（2021·江苏扬州·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为___________； ②面积的最大值为_________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． ①线段长的最小值为_______； ②若，则线段长为________． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ 图形 条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数． 说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为． (1)问题解决： ①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案） ②计算花坛Ⅱ的半径； ③计算花坛Ⅲ的半径； ④请用含的代数式表示花坛的半径． (2)问题拓展： 兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米． 17．（2024·江苏泰州·二模） 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    18．（2023·江苏南京·三模）课本呈现： 直觉的误差 有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，，， ∵，∴． ∵，∴，∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．    问题探究： (1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明； (2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．    19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 中考压轴题热点（第1-2章，情景探究、图表素材题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)该弧所在圆的半径长为______； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； (3)如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； (4)如图4，在边长为6的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】（1）过点作，交圆弧于点，连接，圆周角定理，得到为该弧所在圆直径，，进而求出的长即可； （2）设与圆弧交点为，连接，圆周角定理，得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； （3）过点作，在上截取，连接，作的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径画圆，与直线的交点，即为点； （4）以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，得到，证明点在上，垂直平分，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进一步求出的长，即可． 【解析】（1）解：过点作，交圆弧于点，连接， 则：为该弧所在圆直径，， ∴， ∴该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； （2）设与圆弧交点为，连接，则：， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）如图：点即为所求； 由作图可知：为等腰直角三角形， ∴， 由同弧所对的圆周角相等，得到； （4）解：以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，则：，，， ∴，， ∴点在上， ∴， ∵等边三角形 ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【解析】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·开学考试）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 【答案】【初步思考】（）；（）；【深入探究】（）见解析；（），，；【生活应用】． 【初步思考】（）边长为的正方形的最小覆盖圆，就是以以正方形的对角线为直径的圆，从而求出答案； （）两个正方形组合而成的矩形的最小覆盖圆就是以矩形的对角线为直径的圆； 【深入探究】（）按题意画出图形即可； （）网格中找出和垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径，的中点是覆盖圆圆心，是半径； 【生活应用】的外接圆就是四边形的最小覆盖圆，由直角三角形的性质可得出答案． 【解析】【初步思考】（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； 【深入探究】（）如图所示：分别作垂直平分线即可； （）如图， 和垂直平分线的交点在， 由网格可知：， 如图， 将两点覆盖，到最小距离是点的位置，即，此时可以覆盖点， ∴的最小覆盖圆的半径是； 故答案为：，，； 【生活应用】解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【解析】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　 ， °； (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ； (4)实践应用： 如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用（2）的结论得到三角形的高，的面积即可求出； （4）先证明，通过角的转化得到，发现点P在以为直径的上运动，如图，当点P、H、N共线，且P在下方时，的值最大，再根据圆的对称性得到此时的值． 【解析】（1）解：如图，和都是等腰三角形， ，， 又， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：，30． （2）解：， 理由如下：和都是等腰三角形， ，，， ， 即：， ， ， ，，， ∴， ， ， ． （3）解：如图，连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，，则．， ， ， 连接，作于点，在上截取， ，， ， ，， ， 由（2）可得：， ， ， 同理可得：， 故的面积为：或． 故答案为：或． （4）解：如图，四边形和是正方形， ，，， ，即， ， ， ，， ， ，即， 点P在以为直径的上运动， 如图，当点P、H、N共线，且P在下方时，的值最大， 此时，连接与交于点，并延长与交于点， 根据对称性和（3），，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，圆的对称性等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目∶ 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结，作等边（A，B，C 为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路∶在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点P的坐标． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 【答案】（1），理由见解析（2）3（3）最大值为，（4）的最小值为最大值为 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）连接，将绕着点P顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当N在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； （4）以为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点D在以为直径的上运动，由图可知，当点D在上方，时，的值最大；欲求的最小值，只要求出的最小值即可． 【解析】解：（1）（1）如图中，结论：， 理由：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵的半径为1，点． ∴ 在中，， ∴当E、O、A共线， ∴的最大值为3， ∴的最大值为3． 故答案为3． （3）如图，连接， ∵将绕着点P顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形， ∴， ∵A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴线段长的最大值=线段长的最大值， ∴当N在线段的延长线时，线段取得最大值（如图2中） 最大值， ∵， ∴最大值为； 如图，过P作轴于E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边作等边三角形，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可， 当M、D、O共线时，最小， 如图： ∵，O是中点，是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 如图，以为边作等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可， ∵定值，， ∴点D在以为直径的半圆上运动， 由图可知，当点D在上方，时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． 综上，的最小值为最大值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）① 28度；②见解析；（2）4；（3）①相等且垂直，见解析；② 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【解析】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，    如图1，． （2），， ，，， 点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小，    点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）如图3，连接，    点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①结论：， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持，    ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 8．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2） 【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可； [经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可； （2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可； [理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可； （2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可． 【解析】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）如图4，连接，于， ∵是的切点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，， 由勾股定理得，， ∴， ∴四点共圆，如图5， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C； （2）解：∵，，， ∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， 设的半径为，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）解题与遐想． 如图，的内切圆与斜边相切于点， ，． 求：的面积．    王小明： 这道题算出来面积刚好是，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉 赵丽华： 我把和换成、再算一遍，的面积总是！确实非常神奇了 数学刘老师： 大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？ 霍佳： 刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？ 拼图演绎 (1)将分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注．        (2)尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点． （保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）    【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）将甲乙图形放在为边的上方，将丙丁以为边放在右侧，围成矩形的边长是和； （2）可先计算，根据“定弦对定角”作点的轨迹，根据切线性质，过点作的垂线，再根据直径所对的圆周角是，确定点． 【解析】（1）解：如图，将甲乙图形放在为边的上方，将丙丁以为边放在右侧， ∵的内切圆与斜边相切于点，与相切于点，与相切于点，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直角三角形甲和乙、丙和丁分别拼成两个矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ， ∴， 则下图即为所作；    （2）设的内切圆记作， ∴和平分和，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 可以按以下步骤作图（如图）∶ ①作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为直径作交垂直平分线于点， ②以为圆心，为半径作， ③过点作的垂线，交于， ④连接并延长交于，连接，， 则就是求作的三角形．    【点睛】本题考查正方形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，圆的切线性质，圆周角定理，尺规作图等知识，本题难度较大．解题的关键是几何图形的直观认识及作图分析的思路． 10．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析 【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求． 【解析】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接， ∴， ∵， ∴， ∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小， 故答案为：③； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于， ∴球员P运动到切点Q时最大； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵，且，即是两条平行线间的距离， ∴也是这两条平行线间的距离， ∴， ∴ 直线与相切， ∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大． 【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【解析】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 12．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 (3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 (4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【解析】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； （4）解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 13．（22-23九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (2)；； (3)①；②B、E、D、C；③； (4)证明见解析． 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上． 【解析】（1）解：连接，， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，， ∴ 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：假设点C落在外，交于点E，连接， 可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾，故点C在圆上， 故答案为：；； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接． ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高． 故答案为：；B、E、D、C；； （4）证明：连接，， 由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴，， ∴， 由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆， 即点P在的外接圆上． 【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【解析】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养， 15．（2021·江苏扬州·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为___________； ②面积的最大值为_________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． ①线段长的最小值为_______； ②若，则线段长为________． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）①；②或 【分析】（1）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径； ②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）①根据，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆，可得点在优弧上，连接，与圆交于，可得即为的最小值，再计算出和圆的半径，相减即可得到； ②根据，和推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出． 【解析】解：（1）①设为圆心，连接，， ， ，又， 是等边三角形， ，即半径为； ②以为底边，， 当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ，， ， ， 的最大面积为； （2）如图，延长，交圆于点，连接， 点在圆上， ， ， ， ，即； （3）①如图，当点在上，且时， ，，， ，为定值， 连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆， 点在优弧上，连接，与圆交于，此时即为的最小值，过点Q作，垂足为， 点为中点， 点为中点，即， ， ， ， ， 圆的半径为， ，即的最小值为； ②，，， 则， 中边上的高等于中边上的高， 即点到的距离和点到的距离相等， 则点到和的距离相等，即点在的平分线上，如图， 过点作，垂足为， 平分， ， 为等腰直角三角形，又， ， ， ， 当点在线段上时， ； 当点在线段上时，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ 图形 条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数． 说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为． (1)问题解决： ①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案） ②计算花坛Ⅱ的半径； ③计算花坛Ⅲ的半径； ④请用含的代数式表示花坛的半径． (2)问题拓展： 兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】（1）①根据圆周角为所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答； ②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可； ③如图，可设花坛半径为米，连接和，可证和均为等腰直角三角形，则得，根据垂径定理得米，米，由勾股定理得米； ④本题可构造网格（如图）得等腰直角三角形，则，所以，，则．根据勾股定理进行列式，求得米，即可作答． （2）记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点，依题意，，即面积最小值，取最小值，因为，当点，，三点共线时，，此时半径最小，米，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【解析】（1）解：①连接, 因为， 所以是直径，的中点为圆心， 故米， 所以半径为米； 故答案为：米； ②设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示： 因为，， 所以，米， 在，， 即， 解得； ③延长交于点，连接，过点分别作，作，连接，，如图所示： 因为，米， 所以是等腰三角形， 因为， 所以， 因为，延长交于点， 所以， 则是等腰三角形， 所以米， 因为，， 所以四边形是矩形，， 则米，米， 因为米， 所以米， 则米； ④依题意，，米，米，米，为正数． 可构造网格（如图），过点作的延长线上， 根据小正方形网格（边长为）特征， 则米， 易得等腰直角三角形，如图： 即， 所以， 记该圆心为点，以劣弧所对的圆周角为，如图所示： 则， 则． 在中，， 解得米． 故半径为米； （2）解：记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点， 因为，米， 所以， 要使面积最小值， 即取最小值， 因为， 所以， 则是等腰直角三角形， 所以， 设半径为米， 则， 当点，，三点共线时，即点与点重合，如图所示： 则，此时半径最小， 因为是等腰直角三角形， 则, 所以米， 那么， 所以， 解得，（舍去）， 因为， 则米， 所以面积最小值为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理，内接四边形性质，勾股定理，三角形三边关系等，综合性强，难度大，要求学生具有较强的做辅助线的能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．（2024·江苏泰州·二模） 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    【答案】任务1：四边形不是F−四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且 【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F−四边形的定义，即可判断答案； 任务2：设，列不等式及求解，即得答案； 任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案． 【解析】任务1： 四边形不是F−四边形； 理由：当时，根据作图可得，，， ∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符， 所以不是F−四边形； 任务2： 当时，易得， ， ， 设， ， 又作图可得，， 又， ， ，， 凸四边形的每一个内角都小于， ， ， ， ， ， 综上，且；    任务3： 且． 理由如下： 以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，      则， ， ， ， P，G，Q，M四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形为F−四边形， ，， 由图a和图b中的位置可知， 在图a中， ， ， ， ， ， ， 在图b中， ， ， 当点P在的中点时，， 此时，不符合题意， S的取值范围是且．      【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．（2023·江苏南京·三模）课本呈现： 直觉的误差 有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，，， ∵，∴． ∵，∴，∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．    问题探究： (1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明； (2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．    【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，则，，待定系数法求得直线的解析式为：，当时，，可知点在直线的下方，当时，，可知点在直线的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙； （2）如图3，由拼图前后的面积相等得：，整理得：，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【解析】（1）解：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，    ∵，， 设直线的解析式为：， 将代入，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点在直线的下方， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴拼合的长方形内部有空隙； （2）解：如图3，    由拼图前后的面积相等得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：或（负值不合题意，舍去）． ∴的值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，完全平方公式，一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意以及对知识的灵活运用． 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【解析】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$