精品解析：2022年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学试卷

2022年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 正数2的平方根可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的性质：如果一个数的平方为，那么这个数叫做的平方根，的平方根表示为即可求解． 【详解】解：正数2的平方根可以表示为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平方根的性质，解决问题的关键是理解平方根的性质． 2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法表示方法表示即可； 【详解】解：科学记数法表示为： 0.00000000034=． 故选：D 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3．据此可作出判断． 【详解】解：从左面看所得到的图形， ． 故选：D． 【点睛】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图． 4. 从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用列举法求概率，以及三角形三边关系．先列举出从五条线段中任意选取三条，所有的可能，再用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断可以构成三角形的，最后根据概率计算方法即可得到答案． 【详解】解：从五条线段中任意选取三条，所有可能有： ， ， ， ， ， ， 其中构成三角形的有共3种， ∴能构成三角形的概率是， 故选：D． 5. 如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键．由题可知，，可知，由折叠可知，，由平角为，可知，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， 又由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度（ ） A. 70 B. 55 C. 40 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得桌子的高度h，本题即可解决． 【详解】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm， 则有， ，得 ， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答． 7. 如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，根据反比例函数的性质可知S△OAB=S梯形ABCD，列出方程即可求出答案． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C， ∵S△AOD=S△BOC=， ∴S四边形ABCO=S△AOD+S梯形ABCD=S△OAB+S△BOC， ∴S△OAB=S梯形ABCD， ∵A（2，），B（4，）， ∴3=×（+）×2， ∴k=4， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的系数k的几何意义，本题属于中等题型． 8. 如图，在五边形中，，且，垂足为，则长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形，勾股定理，三角形全等的判定与性质，通过辅助线构造直角三角形和矩形是解题的关键，过点作于，过点作于．设，表示出，在中利用勾股定理求出x，再证明，由此可得，根据即可求得答案． 【详解】解：过点作于，过点作于， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， 设， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及新定义，一元二次方程的解的判定及一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 设是二次函数（为常数）的不动点，根据二次函数（为常数）有两个不相等且都小于 1 的不动点得到关于的方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于 1 ，设这两个实数根为，得到，且，即可求出答案． 【详解】解：设是二次函数（为常数）的不动点， 则，即， ∵二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于 1 的不动点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于 1 ， 设这两个实数根为，则， ， 且， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】解：令中y=0，得x1=-，x2=5， 令，则 设直线的解析式为，将 解得 ∴直线AC的解析式为， 设P（x，）， ∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1 ∴PQ2=PB2-BQ2， =(x-5)2+（）2-1， =， ∵＞0， ∴PQ2有最小值=， ∴PQ的最小值是， 故选D 【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键. 二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．） 11. 已知：，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将变形为，利用降次的思想求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 设为的小数部分，为的小数部分，则的值为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，分母有理化，利用平方法进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，，得四边形为正方形，设正方形的边长为r，然后利用含30度角的直角三角形和切线长定理可以求出，再利用扇形面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，设的内切圆与三边相切于点F，G，H，连接，，， 可得四边形为正方形， 设正方形的边长为r， 在中，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 由翻折可知：， ∴，与圆周围成的阴影部分的面积为． 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，点是坐标平面内一个动点，连接． （1）若点P在第一象限内，且，则_________； （2）若，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（1）取中点为，求出其坐标，连接，根据几何关系即可求解； （2）分两种情况讨论：①当点在右侧时，以为对角线作正方形，以为圆心，为半径作，作直线与交于点P，连接，构造型全等求出N的坐标，根据列方程即可求解；②同理，当点在左侧时，应以M为圆心，为半径画圆，与圆的交点为P，求出M的坐标，根据列方程即可求解．综合①②即可得到t的范围． 本题考查了一次函数图象，直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，三角形全等等知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：， 设中点为，则 连接， ∵，且点在第一象限， ∴点在经过的中点且与轴平行的直线上， 故答案为：8； （2）如图， ①当点在右侧时，以为对角线作正方形，以为圆心，为半径作，作直线与交于点P，连接． ∵四边形为正方形， 过B作轴，过N作轴，交于C点． ∵， ， 又， ， ∴， 又， ∴求得， ∴． ， 解得：； ②同理，当点在左侧时，应以M为圆心，为半径画圆，与圆的交点为P，则， 同理可求， 则， 解得， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 三、（本题共有2小题，每小题8分，共16分．） 15. 先化简：，然后从，1，3中选择适当的数代入求值． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入求值即可． 【详解】解： = = =； ∵，，， ∴，， ∴时，， ∴化简结果为，值为． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；分式有意义的条件．正确的化简是解题的关键． 16. 【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 【答案】 （1）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： 有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究； （1）根据题意有四个值，根据阶方形可得，，，，分别画出图形，即可求解； （2）先计算，前五个正方形边长都为，后四个正方形边长都为，所以矩形是8阶方形． 【详解】解：（1）略 （2），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为8阶方形． 故答案为：8． 四、（本题共有2小题，每小题8分，共16分．） 17. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： （1）如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F； （2）图3，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH 【答案】（1） 如图所示，点F即为所求； （2） 如图所示，AH即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD，BE，BE交AC于点G，连接DJ，延长DG交BC于点F，点F即为所求； （2）作CN⊥AB，BM⊥AC，BM交CN于点E，连接AE，延长AE交BC于点H，线段AH即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键． 18. 如图，在ABC中，AD是中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°． （1）求的值； （2）求ACB的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质求得，根据勾股定理求得，根据中线的性质，求得，进而求得； （2）过作于，连接，则，由中线可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度角的直角三角形的性质，可得，进而得是等边三角形，根据三角形外角性质可得，进而可知，即可得，由即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，交的延长线于点， 设， ， ，， ， 是的中线， ， ， ； （2）过作于，连接，则 是的中线， ， 是斜边上的中线， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等角对等边，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中线的定义等，掌握并熟练运用以上知识是解题的关键． 五、（本题共有2小题，每小题10分，共20分．） 19. 定义：若点满足，则称点p为关于x，y的二元一次方程的融合点． （1）若点为方程的融合点，则　 　；（直接写出答案） （2）u，v为正整数，且点为方程的融合点．求u，v的值； （3）m，s，t，k为实数，点与点都是方程的融合点，且，求k的值． 【答案】（1）3 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据融合点的定义，进行求解即可； （2）根据融合点的定义，列出二元一次方程，求正整数解即可； （3）根据融合点的定义，得到，，推出，结合，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∵u，v为正整数， ∴； ∴或； 【小问3详解】 由题意，得：，， ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程的解．理解并掌握融合点的定义，是解题的关键． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC． （1）求证：AD＝AE； （2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∵AE是⊙O的切线， ∴， ∵AC＝EC， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）⊙O的直径为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，，进而可得，然后问题可求证； （2）由（1）易得，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）得：，则易得， ∴， ∵AE＝2，EF＝2， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即⊙O的直径为． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的切线的性质定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某中药制剂厂新研发了两种分别含有甲、乙药物成分的中药制剂，为了解这两种药物成分在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成、两组，每组100只，其中组白鼠给服甲成分药剂，组白鼠给服乙成分药剂．每只白鼠给服的药物质量与含量均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内药物成分的百分比．按药物成分残留百分比数据分段整理，根据这两组样本原始数据绘制成如下统计表： 分组（） 组（只数） 组（只数） 1 5 8 27 15 30 22 20 12 15 若乙药物成分残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5的频率约为0.70 （1）__________；__________． （2）实验室常用各组数据的组中值代表各组的实际数据来估计数据的平均值，如对甲药物成分残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙药物成分残留百分比的平均值． （3）甲、乙药物成分如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由． 分组 中位数 众数 方差 组 5.4 6.0 1.29 组 5.9 6.1 1.74 【答案】（1）10；35；（2）6.00；（3）甲，见解析 【解析】 【分析】(1)根据频率约为0.70得，解之可得答案； (2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可； (3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可知： 解得： 故答案为：10；35． （2）解： ； （3）由甲乙两种药物成分残留百分比的平均值估计均为6．00，甲中位数5．4小于乙中位数5．9，甲药物成分残留体内会对生物体一半以下低于5．4，甲好；甲众数6．0小于乙众数6．1，甲残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙，甲好；从方差看甲方差1．29小于乙方差1．74，说明甲残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙，甲好；综上，甲的副作用小于乙的副作用，甲相对更安全． 【点睛】本题考查方差、众数、频率、平均数、熟练掌握数据的集中描述是关键． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线． （1）用含a的式子表示b； （2）求抛物线的顶点坐标； （3），是抛物线上两点，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若存在m，使得，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）（1，-5）；（3）当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，； 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式进行求解即可； （2）把抛物线化成顶点式即可得到答案； （3）分当和当两种情况，然后讨论抛物线顶点与图像G的位置关系，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； （2）∵， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为（1，-5）； （3）①当，，即时， ∴图像G上纵坐标的最小值为-5， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴图像G上纵坐标的最小值为，最大值为， ∴， ∴； 当时， ∴图像G上纵坐标的最大值为，最小值为， ∴， ∴； 当，，即时， ∴图像G上纵坐标的最大值为-5， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴图像G上纵坐标的最大值为，最小值为， ∴， ∴； 当时， ∴图像G上纵坐标的最小值为，最大值为， ∴， ∴； 综上所述，当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，； 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 八、（本题满分14分） 23. 矩形中，，点M为射线上的动点（M与点C不重合）将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． （1）如图1，若，求的长； （2）当M在边上时，设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）1 （2） （3）或2或 【解析】 【分析】（1）设交于点O，根据“角角边”证明，根据对应边相等得出，进而即可求解； （2）设，则，，根据可得，由勾股定理得，代入求解即可； （3）分三种情况：，，，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设交于点O， 四边形是矩形，， ∴，， ， ， ∴，， ∴， 又由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：； 【小问3详解】 解：①当时， 过点E作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：， 联立， 解得：， ，不合题意， ； ②当时， 则， 四边形是菱形， ， ∴点M与点D重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 又垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 故的长为或2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求函数关系式，解一元二次方程等知识点，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，第三问注意分情况讨论，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分．） 1. 正数2的平方根可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方形纸片中，，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度（ ） A. 70 B. 55 C. 40 D. 30 7. 如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在五边形中，，且，垂足为，则长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 9. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．） 11. 已知：，则_________． 12. 设为的小数部分，为的小数部分，则的值为 __________ 13. 如图，在中，，，，以为对称轴，作的轴对称图形，点A的对称点恰好与的内切圆圆心O重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为_________． 14. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，点是坐标平面内一个动点，连接． （1）若点P在第一象限内，且，则_________； （2）若，则的取值范围是_________． 三、（本题共有2小题，每小题8分，共16分．） 15. 先化简：，然后从，1，3中选择适当的数代入求值． 16. 【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 四、（本题共有2小题，每小题8分，共16分．） 17. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： （1）如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F； （2）图3，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH 18. 如图，在ABC中，AD是中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°． （1）求的值； （2）求ACB的度数． 五、（本题共有2小题，每小题10分，共20分．） 19. 定义：若点满足，则称点p为关于x，y的二元一次方程的融合点． （1）若点为方程的融合点，则　 　；（直接写出答案） （2）u，v为正整数，且点为方程的融合点．求u，v的值； （3）m，s，t，k为实数，点与点都是方程的融合点，且，求k的值． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC． （1）求证：AD＝AE； （2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径． 六、（本题满分12分） 21. 某中药制剂厂新研发了两种分别含有甲、乙药物成分的中药制剂，为了解这两种药物成分在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成、两组，每组100只，其中组白鼠给服甲成分药剂，组白鼠给服乙成分药剂．每只白鼠给服的药物质量与含量均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内药物成分的百分比．按药物成分残留百分比数据分段整理，根据这两组样本原始数据绘制成如下统计表： 分组（） 组（只数） 组（只数） 1 5 8 27 15 30 22 20 12 15 若乙药物成分残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5的频率约为0.70 （1）__________；__________． （2）实验室常用各组数据的组中值代表各组的实际数据来估计数据的平均值，如对甲药物成分残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙药物成分残留百分比的平均值． （3）甲、乙药物成分如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由． 分组 中位数 众数 方差 组 5.4 6.0 1.29 组 5.9 6.1 1.74 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线． （1）用含a的式子表示b； （2）求抛物线的顶点坐标； （3），是抛物线上两点，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若存在m，使得，直接写出a的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 矩形中，，点M为射线上的动点（M与点C不重合）将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． （1）如图1，若，求的长； （2）当M在边上时，设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $