精品解析：2022年芜湖市第一中学自主招生数学试卷

2022年芜湖市第一中学自主招生数学试卷 一、单选题 1. 若，且的绝对值与其相反数相等，则的值为（       ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值与相反数，由的绝对值与其相反数相等可得，然后可得的值，然后可得答案． 【详解】解：因为的绝对值与其相反数相等， 所以， 因为， 所以或， 所以或， 故选：B． 2. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（       ） A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，判断简单组合体的三视图，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果． 【详解】解：当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：①； 当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是④； 当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：②． 故选：C． 3. 已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A. ﹣22 B. ﹣1 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可． 【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12， ∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键． 4. 两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上的面的数字之积能被整除的概率为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率．根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率． 【详解】解：由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共36种情况 且每种情况出现可能性相同，所得结果之积为：，，，，   ，，积能被整除的概率， 故选：D． 5. 函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】图像开口向下a＜0，c＜0，对称轴>0，当x=1时，y>0，当x=-1时y<0，由以上信息即可判断． 【详解】解：观察图形，显然，a＜0，c＜0，b＞0， ∴ ab＜0，bc＜0， 由−＜1，得b＜-2a，所以2a+b＜0； 由a-b+c＜0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）＜0； 由a+b+c＞0得a+b＞-c＞0， 因此（a+b）2-c2＞0，|b|＞|a|，b2-a2＞0． 综上所述，仅有（a+b）2-c2，b2-a2为正数． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，难度一般，认真观察图形分析出a、b、c的正负是关键． 6. 如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（       ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称一最短问题，勾股定理，解直角三角形，通过作直线的对称直线，通过找点的对称点将转化为一条线段的长，进而结合作图分析，求得该线段的长，即可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称直线，取A在其对称直线上的对称点为，则，作关于的对称直线，连接交于M点，延长交于点，设在上的对称点为N，则，故， 由于A为定点，则也为定点，故当垂直于时，的长最短，即此时取得最小值， 因为直线和与轴相交所成锐角分别为，， 所以， 则， 故， 而A坐标为， 故， 而， 所以， 即长度的最小值为， 故选：B． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点，且点在轴上，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，连结交于点，已知，则的值为（       ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 过作于点，交于点，从而可得到，进而得出，再列出比例式求得，进而求得，再证明，列出比例式得到关于的方程求得，从而可得到．由勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理得到关于的方程求得，从而可得，再利用求解即可． 【详解】解：过作于点，交于点，如图所示 ， ， ， 设， 则， ， 又， ， 又， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 又， ， ． 在中，由勾股定理可得， ． 在中，， 即， 解得或（舍）， ， ． 故选：D． 二、填空题 8. 已知，则的取值可能是_________ ． 【答案】或或 【解析】 【分析】讨论指数式底数，结合指数运算性质求的取值． 【详解】解：当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当，即时，，满足要求； 所以的取值可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，求解形如的方程时，需对底数和指数进行分类讨论，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9. 分解因式 __________ ． 【答案】 【解析】 【详解】本题主要考查因式分解，通过拆项，结合分组分解法、提公因式法、完全平方公式分解因式即可． 【分析】解： ， 故答案为：． 10. 若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解不等式组是解题的关键． 由条件确定的范围，结合不等式性质求的最大值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由已知可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 故答案为：． 11. 设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为__________ ． 【答案】253或254 【解析】 【分析】本题主要考查方差的计算，设，根据数据的方差为可化简为，推出要取到最小值，需最小且最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时的值，求得答案． 【详解】解：设，则数据的方差为 ， 显然且， 故要取到最小值，需最小，最小值为， 设（t为正整数，且），则， 则， 当或时，取到最小值， 即，或时，取到最小值， 故当数据的方差最小时，即或，的值为253或254， 故答案为：253或254． 12. 若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索问题，依据题意，列出等式，观察发现一般规律是解题关键． 设第个数为，，然后分别表示出，，，，然后，可得，，可得， 得到，进而求解即可． 【详解】解：设第个数为，， 由已知①，， ②，， ③，， ④，， ，可得，， ，可得，， 所以， 所以 ， 又，， ∴， ∴， 所以． 故答案为：． 13. 不超过的最大整数为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及二次根式运算，根据，利用完全平方公式以及和的立方公式即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 即， 又， 所以，所以不超过的最大整数为7039， 故答案为：7039 三、解答题 14. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键． 如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15. （1）已知是方程的一个根，求的值； （2）解关于的方程． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，即，可化为，代入条件可得其值； （2）变形可得，再分别在，条件下解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）∵方程有意义， ∴且， 原方程可变形为， 当时，， ∴， 故方程无解； 当时，方程可变形为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， 综上所述，方程的解为． 【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，二次根式的混合运算，由一元二次方程的解求参数，公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握上述知识点并能运用求解． 16. 某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能重新组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能重新组成一个正方形队列．原长方形队列有多少名学生？ 【答案】原长方形队列人数为136或904 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，平方差公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设原长方形队列有同学人，如果原队列中增加120人，就能重新组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能重新组成一个正方形队列．故和均为完全平方数，可设，其中均为正整数，且，进而分析可得或，再进行运算，求解即可． 详解】解：设原长方形队列有同学人， 根据题意可得，其中均为正整数，且， 可得， 即， ∵， ∴都是8的倍数， 则均能被4整除， 于是均能被4整除， ∵均为正整数，且， ∴或， 解得或， ∴或 则或， 即或， ∴原有队列人数为136或904． 17. 如图，中，于，点是上一点，连接并延长交于点于点，连接．   （1）如图（），若，求线段的长度； （2）如图（），若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过作交于点，根据平行线等分线段定理得，结合条件证明，再求，可得结论； （）过点作于点，由条件证明，解三角形求出，再求，由此可得结论． 【小问1详解】 解：如图，过作交于点， ∵， ， ∵， ∴为的中点， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，为的中点，， ∴， ∵， ， ∴； 【小问2详解】 解：，， ， 四点共圆， ∵， ∴， ， 如图，过点作于点， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ，， 在中， ， ， ， ， ∴， 又∵， ． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 【答案】（1）；点A的坐标为 （2）① ；②0 【解析】 【分析】（1）利用抛物线上的点，可求得a的值，即得答案； （2）①根据图象的平移可得方程，利用抛物线性质将球最小转化为只需求最小值即可； ②设，利用设切线方程，和抛物线联立，求得P点坐标，通过设直线的方程，联立抛物线方程推出，分别求出的值，可得答案． 【小问1详解】 解：由抛物线的图象过点， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令， 解得， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线， 由题意可得，它经过平移后可得抛物线的解析式为， 即．①根据阅读材料中的结论，，故， ∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图， 设抛物线的焦点为，将延长交直线于点E， 根据阅读材料中的结论，可得， 则， ∴， 要使最小，只需最小即可． 根据两点间线段最短，可得（三点共线时取“=”）， 即最小值为． 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值为． ②设，直线， 得， 即直线， 再与抛物线联立， 得， 由， 得， 故直线， 同理得， 联立， 解得， 得， 再设直线， 联立， 得， 则， 由材料内容可知， ， ∵， 故， ∴． 【点睛】本题考查了新定义——抛物线的焦点和准线．熟练掌握新定义，抛物线性质，是解题的关键．求解的值是本题的难点所在，解答时要根据题意设出切线方程，和抛物线方程联立，表示出点P坐标，从而可以表示；关键在于再设直线，联立推出，得到和相等，即可求解答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年芜湖市第一中学自主招生数学试卷 一、单选题 1. 若，且的绝对值与其相反数相等，则的值为（       ） A. B. 或 C. 或 D. 或 2. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（       ） A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ②③④ 3. 已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A ﹣22 B. ﹣1 C. 7 D. 11 4. 两枚相同正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上的面的数字之积能被整除的概率为（       ） A. B. C. D. 5. 函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（       ） A 2 B. C. D. 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点，且点在轴上，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，连结交于点，已知，则的值为（       ） A. 6 B. C. D. 二、填空题 8. 已知，则的取值可能是_________ ． 9. 分解因式 __________ ． 10. 若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为__________ ． 11. 设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为__________ ． 12. 若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________ ． 13. 不超过的最大整数为__________ ． 三、解答题 14. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 15. （1）已知是方程的一个根，求的值； （2）解关于的方程． 16. 某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能重新组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能重新组成一个正方形队列．原长方形队列有多少名学生？ 17. 如图，中，于，点是上一点，连接并延长交于点于点，连接．   （1）如图（），若，求线段长度； （2）如图（），若，求的值． 18. 材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，且过点， （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线的图象． ①设为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线焦点作直线，与抛物线交于两点，再过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $