精品解析：江西省赣州市经开区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷

江西省赣州市经开区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 使代数式有意义x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C 且 D. 2. 已知一次函数不经过第一象限，那么k，b的符号分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 4cm D. 5cm 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 四条边相等的四边形是菱形 5. 某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）． A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 6. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为______． 8. 甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是．你认为成绩更稳定的是 _____． 9. 如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为________． 10. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_________． 11. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为_． 12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 _____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，在长方形中，，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于点M，它在数轴上表示的实数是a． （1）求出a的值； （2）先化简，再求值：，其中a是（1）中所求的实数． 15. 如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）． 16. 如图，，，轴，与直线交于点C，轴于点D，P是折线上一点．设过点B，P的直线为l． （1）点C的坐标为 ；若l所在的函数随x的增大而减小，则的取值范围是 ； （2）当时，求l的解析式； 17. 如图，四边形为矩形，为上一点，将矩形沿翻折，，分别为，的对应点，与相交于点，请你用无刻度的直尺按以下要求作图 （1）在图中作的平分线； （2）在图中过点作的垂线，垂足为点． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O． （1）证明：四边形ADCE为菱形． （2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高． 19. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图： ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100 170 250 （1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数） （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）； （3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系． 20. 先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）猜想：＝ ，并验证你的猜想； （2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律等式吗？ （3）证明你找到的规律； （4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 22. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点F，，C，D为上两点，且两点的横坐标分别为12和6，轴于点A，轴于点B，轴于点Q． （1）求直线的解析式，以及点A和点B的坐标． （2）P为直线上一动点，连接，并求出当的周长最小时，点P的坐标及此时的周长． （3）点N从点出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿的路径绕梯形运动，运动速度为每秒2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接和，试探究当t为何值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市经开区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 使代数式有意义x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义得1-x≥0，分式有意义，得分母x+1≠0，据此求x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得，x≤1且x≠-1． 故选：A． 【点睛】考查了分式有意义的条件、二次根式的意义的条件．分式有意义的条件：分母不等于零；二次根式的意义条件：二次根式中的被开方数必须是非负数．掌握分式有意义的条件、二次根式的意义的条件是解题的关键． 2. 已知一次函数不经过第一象限，那么k，b的符号分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】一次函数与坐标轴的交点坐标为：、(0,b)， ∵一次函数不经过第一象限， ∴，，k≠0 ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交． 3. 如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ） A. 3cm B. 6cm C. 4cm D. 5cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值． 【详解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2， ∴BC2＝8，AC2＝17， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25， ∴AB＝5cm， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方． 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故本选项符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定方法，属于基础题，熟练掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 5. 某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如下表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）． A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，“啦啦操”兴趣小组共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位学生年龄的平均数，而12岁的学生有5人，13岁的学生有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位的两个学生都是13岁，因此中位数是13岁，不受14岁、15岁人数的影响；因为13岁的学生有23人，而12岁的学生有5人，14岁、15岁的学生共有22人，因此众数是13岁． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的知识，正确掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 6. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 根据平移的距离b可以判断出矩形边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形边的长，从而求得面积． 【详解】解：设直线移到过点B时与交于点E， 由图象得：，，， 由勾股定理得：，， ∴矩形的面积为：， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式定义，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式2与是同类二次根式， ∴3a-1=a+3，解得a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 8. 甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是．你认为成绩更稳定的是 _____． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵， ∴方差最小的为乙， ∴成绩更稳定的是乙． 故答案为：乙． 9. 如图，已知四边形中，，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ， 在中，，，，， ， ∴是直角三角形，且， ∴ ， 四边形的面积为36． 故答案为：36． 10. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象求解即可． 【详解】解：一次函数y＝kx＋b（k＜0）的图象经过点P（3，2）， 根据图象可知，不等式kx＋b＜2的解集是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 11. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为_． 【答案】 【解析】 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可；设小正方形的边长为x，已知a=3，b=4，得AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3+x)2+(x+4)2=72； 整理得x2+7x-12=0，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积. 【详解】如图. 设小正方形的边长为x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即(3+x)2+(x+4)2=72， 整理得，x2+7x-12=0， 解得，或（舍去）， ∴该矩形的面积 故答案为. 【点睛】考查勾股定理，设出正方形的边长，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意和平行四边形的性质求出OB的长度，由△ABP为等腰三角形分为AB＝BP、AB=AP和AB=BP时分别求解即可解答． 【详解】解：∵D点的纵坐标为6，CD＝10， 根据平行四边形的性质可得：A点的纵坐标为6，AB＝10， ∴OB＝， 如图，当AP＝BP时，BP＝AP＝OB﹣OP＝8﹣OP， 由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（8﹣OP）2＝62+OP2， 解得，OP＝， 则点P的坐标为（﹣，0）， 当AB＝AP＝10时，此时BO＝PO， 此时P点的坐标为（8，0）, 因为C的坐标是（8，0），与P点重合，不合题意，舍去； 当AB＝BP＝10时，此时点P的坐标为（2，0）、（﹣18，0）（此时点P不在BC上，舍去）， 当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）． 故答案为：（﹣，0）或（2，0）． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式、零次幂及绝对值，然后计算加减即可； （2）直接运用完全平方公式及平方差公式计算，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式＝ ＝ 【小问2详解】 原式＝ ＝． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，零次幂及绝对值的化简，完全平方公式及平方差公式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 14. 如图，在长方形中，，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于点M，它在数轴上表示的实数是a． （1）求出a的值； （2）先化简，再求值：，其中a是（1）中所求的实数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）进行解答即可求得a的值； （2）括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算进行化简，然后把（1）中a的值代入进行计算即可得． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：原式＝ = =， 当时，原式=． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，分式的化简求值，熟练掌握勾股定理、实数与数轴的关系、分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键． 15. 如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）． 【答案】点到的距离约为 【解析】 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 16. 如图，，，轴，与直线交于点C，轴于点D，P是折线上一点．设过点B，P的直线为l． （1）点C的坐标为 ；若l所在的函数随x的增大而减小，则的取值范围是 ； （2）当时，求l的解析式； 【答案】（1）； （2）l的解析式为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出点C的纵坐标为4，然后代入即可求出；然后根据点B的坐标为即可得到的取值范围； （2）根据设直线l的解析式为，然后将代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，轴， ∴点C的纵坐标为4． ∵点C在直线上， ∴， 解得， ∴； ∵l所在的函数随x的增大而减小，而点B的坐标为， ∴的取值范围是． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线l的解析式为， 将代入，得， ∴l的解析式为． 17. 如图，四边形为矩形，为上一点，将矩形沿翻折，，分别为，的对应点，与相交于点，请你用无刻度的直尺按以下要求作图 （1）在图中作的平分线； （2）在图中过点作的垂线，垂足为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，无刻度直尺作图． （1）延长，交于点，射线即为所求； （2）延长，交于点，连接并延长交的延长线于，连接交于，直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点，射线即为所求． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，连接并延长交的延长线于，连接交于，直线即为所求． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O． （1）证明：四边形ADCE为菱形． （2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由AE//CD，CE//AB判断四边形ADCE是平行四边形，Rt△ABC中，D为AB的中点，得出CD=AB=AD，由菱形的判定定理即可得出结论； （2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，DF即为菱形ADCE的高，判断△BCD是等边三角形，得∠DCF=60°，CD=8，在Rt△CDF中，由勾股定理求出DF即可． 【详解】（1）证明：∵AE//CD，CE//AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=AD， ∴四边形ADCE为菱形； （2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示： DF即为菱形ADCE的高， ∵∠B=60°，CD=BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=8， ∵CE//AB， ∴∠DCE=∠BDC=60°， ∴∠CDF=30°， 又∵CD=BC=8， ∴CF=4， ∴在Rt△CDF中，DF==4 菱形ADCE的高为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解决问题的关键． 19. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图： ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100 170 250 （1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数） （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）； （3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系． 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3） 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案； （2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案； （3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）平均数：（千克）； 故答案为：173； （2）倍； 故答案为：2.9； （3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度， 所以从图中可知：； 【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系． 20. 先来看一个有趣的现象：．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）猜想：＝ ，并验证你的猜想； （2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？ （3）证明你找到的规律； （4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 【答案】（1），见解析 （2）＝n （3）见解析 （4）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据已知等式规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据二次根式的乘法法则验证即可； （4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 验证：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 证明： ． 【小问4详解】 解：，验证如下： （答案不唯一）． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【解析】 【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可； （2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可； （3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可． 【详解】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． 依题意得，解得， 经检验是原方程的解且符合题意 当时，． 答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元； （2）设购进种商品件，购进种商品件， 依题意得 解得， ∵为整数∴． ∴该商店有5种进货方案； （3）设销售、两种商品总获利元， 则． ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键． 22. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析 【解析】 分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论； (2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案； (3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE． 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 又∵ PB=PB， ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； (2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； (3)AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠DEP， ∴∠DCP=∠DEP， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE． 六、（本大题共12分） 23. 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点F，，C，D为上两点，且两点的横坐标分别为12和6，轴于点A，轴于点B，轴于点Q． （1）求直线的解析式，以及点A和点B的坐标． （2）P为直线上一动点，连接，并求出当的周长最小时，点P的坐标及此时的周长． （3）点N从点出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿的路径绕梯形运动，运动速度为每秒2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接和，试探究当t为何值时，． 【答案】（1），， （2）；周长最小值是 （3）或12时， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用对称解决最短问题，学会用方程的思想思考问题． （1）首先求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）作点关于直线的对称点，则，连接交于，此时的周长最小．求出直线的解析式，利用方程组求出的坐标即可解决问题； （3）观察图象可知，点在上时，存在，如图：作于，构建方程即可解决问题；当点与点重合时，此时； 【小问1详解】 解：在中， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴； ∴， ∴． 【小问2详解】 解：作点关于直线的对称点，连接，作点， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接交于，此时的周长最小． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由， 解得， ， ， 故周长最小值是． 【小问3详解】 解：观察图象可知，动点N停止运动时间， ， 动点M停止运动时间， 当点在上时，存在，如图：作于． ， ， ， ； 当点与点重合时，此时，， ∴或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $