1.6.1有理数的加法法则 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

华东师大版 （2024） 七年级数学上册 第一章有理数 1.6.1 有理数的加法法则 通过借助数轴理解有理数加法的意义,体会数形结合的思想方法（重点）. 01 掌握有理数加法法则,能熟练进行有理数的加法运算,提高运算能力（难点）. 02 学习目标 复习提问 问题 前面我们学习了有理数，有理数有几种分类方法呢？ 有理数 正有理数 负有理数 负整数 负分数 正整数 正分数 0 有理数 整数 分数 正分数 负分数 正整数 负整数 0 根据定义分类 根据性质符号分类 新课导入 问题 回忆小学学过的与数有关的内容，想一想接下来我们应该继续研究哪些与有理数有关的问题？ 根据小学阶段学习数的经验， 接下来就要研究有理数的运算. 新课导入 问题 小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相加. 引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 正数 + 正数 正数 + 0 0 + 0 负数 + 负数 正数 + 负数 负数 + 0 新课导入 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹 (小棍形状的记数工作) 分别表示正数和负数 (红色为正，黑色为负). 你能写出下列算筹表示的数和最终结果吗？ ( ) ＋ ( ) ＝ ? ＋2 －4 请思考有负数的加法如何计算？ 新知探究 1.有理数加法法则 问题 小明在一条东西跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？ 我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法解答.可是上述问题不能得到确定的答案，因为小明最后的位置与行走方向有关. 新知探究 我们必须把这一问题说的明确些，不妨规定向东为正，向西为负. 可以先画出数轴，借助数轴表示运动过程和结果. 以原点 为第一次运动的起点； 第一次运动的终点是第二次运动的起点； 由第二次运动的终点与原点的相对位置得出两次运动的结果. 新知探究 40 50 60 20 30 70 10 0 -10 20 50 30 即小明位于原来位置的东边50米处. 该运算过程在数轴上表示如图. 东 西 (1) 若两次都向东走，很明显，一共向东走了50米.写成算式是（+20）+（+30）=+50. 新知探究 -10 0 10 -30 -20 20 -40 -50 -60 30 50 20 即小明位于原来位置的西边50米处. 该运算过程在数轴上表示如图. 东 西 (2)若两次都向西走，则小明现在位于原来位置的西边50米处. 写成算式是（-20）+（-30）=-50 新知探究 问题 由算式①②可以得出什么结论呢？ ① ② 从算式 ①② 可以看出： 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加. 新知探究 20 30 40 0 10 50 -10 -20 -30 30 10 20 东 西 (3) 若第一次向东走 20 m，第二次向西走 30 m. 写成算式是（+20）+（-30）=-10 在数轴上我们可以看到小明位于原来位置的西边 10 m 处. 新知探究 20 30 40 0 10 50 -10 -20 -30 30 10 20 东 西 (4) 若第一次向西走 20 m，第二次向东走 30 m，则小明位于原 来位置的 ( ) 边 ( ) m 处. 写成算式是（-20）+（+30）= +10 东 10 后面两种情况中两个加数正负号不同（通常可称为异号）让我们再试几次 (下列算式中，各个加数的正负号和绝对值仍分别表示运动的方向和路程)： (+4) + (-3) = ( )， (+3) + (-10) = ( )， (-5) + (+7) = ( )， (-6) + 2 = ( ). 4 3 3 10 5 7 6 2 +1 -7 +2 -4 新知探究 新知探究 问题 由算式③④及上述情形所写出的算式中，你能总结出一些规律吗？ ③ ④ 从算式 ③④ 及上述情形所写出的算式可以看出： 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 新知探究 问题 如果小明沿着跑道第一次向西走30m，第二次向东走30m，那么两次运动的最后结果是什么？ 30 30 结果是仍在起点处. 写成算式就是 ⑤ 20 30 40 0 10 50 -10 -20 -30 东 西 新知探究 问题 由算式⑤可以得出什么结论呢？ 算式⑤表明： 互为相反数的两个数相加得0 . ⑤ 新知探究 问题 如果小明第一次向西（或东）运动30m，第二次原地不动，那么两次运动后小明位置在哪里？ 你能用算式表示吗？ 写成算式就是 或 ⑥ 新知探究 问题 由算式⑥可以得出什么结论呢？ 算式⑥表明： 一个数与0相加， 仍得这个数. 或 ⑥ 新知探究 问题 从算式①~⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值. 你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？ 有理数加法法则包括三种不同情况： 同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加. 异号两数相加中，又以互为相反数的两个数相加为特例. 有理数加法法则 有理数加法法则 1 2 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与 0 相加，仍得这个数. 3 4 互为相反数的两个数相加得0； 注意：一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，进行加法运算时立注意先确定和的正负号，再确定绝对值. 计算：（1）（+2）+（-11）；（2）（-12）+（+12）； （3） （4）（-3.4）+4.3. 试说出每一小题计算的依据. 课本例题 例 1 有理数的加法法则，还可以帮助我们进一步理解相反数的意义，它告诉我们:两个数互为相反数的特征是这两个数的和为0. 这是什么意思呢?一方面，由法则3，如果两个数a、b互为相反数，那么a+b=0;另一方面，如果a+b=0，那么a、b互为相反数。这是因为，如果a、b不互为相反数、那么无论它们是同号、异号(绝对值不相等)还是只有一个数为0，由法则1、2、4知，它们的和都不可能为 0. 强调说明 总结归纳 问题 请总结一下有理数加法的运算步骤. “一看，二定，三算” 1 看两个加数是同号，还是异号，有没有 0. 2 根据加数绝对值的大小及加数的符号确定和的符号. 3 再算和的绝对值. 新知探究 问题 任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. ① 任何一个数加上一个正数，和大于原来的数. 记为任何一个数，为正数，则在数轴上的表示如图所示. 由数轴上左边的数小于右边的数可得，，即任何一个数加上一个正数，和大于原来的数. 新知探究 问题 任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. ② 任何一个数加上一个负数，和小于原来的数. 记为任何一个数，为负数，则在数轴上的表示如图所示. 由数轴上左边的数小于右边的数可得，，即任何一个数加上一个负数，和小于原来的数. 新知探究 利用有理数加法法则说明如下： ① 任何一个数加上一个正数，有以下三种情况： 一个正数加上一个正数，和取正号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和，显然和大于原来的数； 0 加上一个正数，和为正数，和大于原来的数； 一个负数加上一个正数，和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，若和为正，则大于原来的数，若和为负，则和的绝对值小于原数的绝对值，和大于原来的数. 新知探究 利用有理数加法法则说明如下： ② 任何一个数加上一个负数，有以下三种情况： 一个负数加上一个负数，和取负号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和，显然和小于原来的数； 0 加上一个负数，和为负数，和小于原来的数； 一个正数加上一个负数，和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，若和为负，则小于原来的数，若和为正，则和的绝对值小于原数的绝对值，和小于原来的数. 课本练习 ﹢ 18＋8 ﹢ 16－9 ﹣ 9＋5 26 7 ﹣14 课本练习 ＝6 ＝16 ＝﹣47 ＝﹣9 ＝0 ＝3.9 ＝﹣0.25 ﹣5 11 2 3 课本练习 是 不一定 知识点1　同号两数加法法则 1. [2024·天津和平区月考]计算(－3)＋(－2)的结果等于(　A　) A. －5 B. －1 C. 5 D. 1 A 分层练习-基础 2. 用“＞”号或“＜”号填空： (1)如果 a ＞0， b ＞0，那么 a ＋ b 0； (2)如果 a ＜0， b ＜0，那么 a ＋ b 0. ＞　 ＜　 加数 加数 和的符号 和的绝对值 和 ＋7 ＋13 ＋ 20 20 －7 －13 － 20 －20 ＋ 20 20 － 20 －20 3. [母题 教材P26练习T1] 填表： 知识点2　异号两数加法法则 4. 计算2＋(－3)的结果是(　C　) A. －5 B. 5 C. －1 D. 1 C 5. [2024·连云港]如图，数轴上的点 A ， B 分别对应数 a ， b ， 则 a ＋ b 0.(用“＞”“＜”或“＝”填空) 【解析】由数轴可得 a ＜0＜ b ，｜ a ｜＞｜ b ｜，根据异号两 数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案. ＜　 6.计算： (1)(－25)＋(－35)； 【解】(－25)＋(－35)＝－(25＋35)＝－60. (2)(－12)＋(＋3)； 【解】(－12)＋(＋3)＝－(12－3)＝－9. (3)(＋8)＋(－7)； 【解】(＋8)＋(－7)＝＋(8－7)＝1. (4)0＋(－7). 【解】0＋(－7)＝－7. 知识点3　有理数加法法则的应用 7. [新考向 数学文化]我国是最早进行负数运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图①表示的是(－13)＋(＋23)＝10的计算过程，则图②表示的计算过程是(　A　) A A. (＋31)＋(－43)＝－12 B. (－31)＋(＋43)＝12 C. (＋13)＋(＋34)＝47 D. (－13)＋(＋34)＝21 8. [2024·温州]如图，比数轴上点 A 表示的数大3的数是(　D　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 D 易错点　计算时考虑问题不全而漏解 9. [新考法 逆向思维法]马小哈在计算一道有理数运算｜(－3)＋■｜时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是(　D　) A. 3 B. －3 C. 3或－9 D. －3或9 D 10. (1)已知｜ x ｜＝6，｜ y ｜＝11，求 x ＋ y 的值； 【解】由题意，得 x ＝±6， y ＝±11.当 x ＝6， y ＝11时， x ＋ y ＝17； 当 x ＝6， y ＝－11时， x ＋ y ＝－5；当 x ＝－6， y ＝11时， x ＋ y ＝5； 当 x ＝－6， y ＝－11时， x ＋ y ＝－17.综上， x ＋ y 的值为17或－5或5或－17. 分层练习-巩固 (2)已知｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ，且 b ＜ a ，求 a ＋ b 的值. 【解】因为｜ a ｜＝ ，所以 a ＝± . 因为｜ b ｜＝ ，所以 b ＝± .因为 a ＞ b ， 所以 a ＝ ， b ＝ 或－ .所以 a ＋ b ＝ 或 . 11. [立德树人 民族精神]在某次抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：km)：＋14，－10，＋8，－7，＋13，－6，＋12，－6. 【解】(＋14)＋(－10)＋(＋8)＋(－7)＋(＋13)＋(－6) ＋(＋12)＋(－6)＝18(km). 答：乙村位于甲村的正东方向，距离甲村18 km. (2)救灾过程中，冲锋舟离甲村最远处有多远？ 【解】｜＋14｜＝14(km)；｜14＋(－10)｜＝4(km)； ｜4＋(＋8)｜＝12(km)；｜12＋(－7)｜＝5(km)； ｜5＋(＋13)｜＝18(km)；｜18＋(－6)｜＝12(km)； 12＋(＋12)｜＝24(km)；｜24＋(－6)｜＝18(km). 故救灾过程中，冲锋舟离甲村最远处为24 km. (3)为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？ 【解】｜＋14｜＋｜－10｜＋｜＋8｜＋｜－7｜＋｜ ＋13｜＋｜－6｜＋｜＋12｜＋｜－6｜＝76(km)， 76×0.5＝38(升). 答：该冲锋舟油箱容量至少是38升. 12. [2024·北京四中模拟]还记得小时候经常玩的填数游戏吗？一起用有理数来试试吧！ (1)请在图①的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的2个数的和. 【解】如图①所示. 分层练习-拓展 (2)如图②，在圆圈内填上恰当的数，使每条线上的3个数之和为0. 【解】如图②所示，答案不唯一. 13. [新考法 从特殊到一般的思想] (1)比较大小： ①｜－2｜＋｜3｜ ｜－2＋3｜； ②｜4｜＋｜3｜ ｜4＋3｜； ③ ＋ ； ④｜－5｜＋｜0｜ ｜－5＋0｜. ＞　 ＝　 ＝　 ＝　 (2)通过(1)中的大小比较，猜想并归纳出｜a｜＋｜b｜与｜a ＋b｜ 的大小关系，并说明当 a ， b 满足什么关系时，｜a｜＋｜b｜＝ ｜a＋b｜成立. 【解】｜ a ｜＋｜ b ｜≥｜ a ＋ b ｜. 当 ab ≥0时，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜成立. (3)根据(2)中得出的结论，当｜ x ｜＋2 024＝｜ x ＋2 024｜时， x 的取值范围是 ⁠. x ≥0　 有理数 加法法则 3. 互为相反数的两个数相加得 0. 4. 一个数与 0 相加，仍得这个数. 1. 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加； 2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 应注意先确定和的正负号，再确定绝对值. 课堂小结 $