精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025～2026学年九年级第一学期开学考数学试卷

数学练习1 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】A．抛物线开口向下， ，故本选项错误； B．抛物线的对称轴在轴左侧， ， ，故本选项错误； C．抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项错误； D．抛物线与x轴的两个交点， ，故本选项正确． 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可. 【详解】解： ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积. 5. 如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．由平行四边形的性质推出，得到是的中位线，推出，即可求解 ． 【详解】解：∵，对角线，相交于点， ∴， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C． 6. 点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 8. 如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，再依次求出，，，由此想到在上取，连接，推出，进而可利用线段间的和差关系解决问题． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取，连接， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴x，y发生变化时，不变． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，能够发现是的2倍，从而作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 一元二次方程的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， 或， 解得：，， 故答案为：或． 11. 如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，连接．若，则_______________°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：80． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 13. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 14. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 _____． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 _____． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 三、解答题（共4小题，每小题9分，共36分） 17. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值均小于函数的值，大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数的表达式，解关于k、b的二元一次方程组即可； （2）由第（1）问得到函数与的表达式，根据条件列出关于x的不等式组，再考虑x系数的正负，即m的取值范围进行分类讨论，最后结合条件即可解出m的取值范围； 本题考查一次函数的性质和解一元一次不等式组，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式和解不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 函数的图象经过点和， ， 解得：， 故，． 【小问2详解】 由（1）得函数的表达式为： ，函数的表达式为：， 由题意，当时：恒成立， 整理得：； （a）当时，恒成立，但与矛盾，不符合题意； （b）当时，恒成立，解得与矛盾，不符合题意； （c）当时，在时恒成立，则，解得，又，则或； （d）当时，恒成立，解得，符合题意； （e）当时，恒成立，与矛盾，不符合题意； 综上，m的取值范围是或． 18. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）若，求的度数： （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） （2）的长为，的长为 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，得，再证明四边形是矩形，最后通过得出的度数； （2）证明是等腰直角三角形，得，由勾股定理求出的长度，根据D为的中点求出的长度，同时根据已知条件得出的长度，再由三角形中位线定理求出，然后由矩形的性质得，，则，进而由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴, ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可． （2）根据，，都有，分和，解答即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线经过， 得到且， 故即， 故抛物线的对称轴为：直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∴ 解得， ∴， ∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的右侧， 则即， 解得，无解； 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的左侧， 则即， 解得； 当，且时，，即， 则即，无解； 当，且时，，即， 则，无解， 综上所述，符合题意的范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键． 20. 如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． （1）求证：； （2）连接，求的大小； （3）作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形得，连接，证明，有和，即，利用等腰三角形得，即可证明； （2）由（1）知，，则有，进一步得，即可证明为等边三角形，则； （3）连接，在上截取点H，使得，由（2）知为等边三角形，则，有对称得，进一步得到，即可证明，有，结合菱形的性质得，由勾股定理求得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解：连接，在上截取点H，使得，如图， 由（2）知为等边三角形，则， ∵点C关于直线的对称点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和对称的性质，解题的关键是熟悉菱形的性质以及全等三角形的判定性质，以及常用辅助线的做法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习1 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）． A. B. C. D. 5. 如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 7. 近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 一元二次方程的解是______． 11. 如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，连接．若，则_______________°． 12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 13. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 14. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 16. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 _____． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 _____． 三、解答题（共4小题，每小题9分，共36分） 17. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值均小于函数的值，大于函数的值，直接写出m的取值范围． 18. 如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）若，求的度数： （2）若，，，求和的长． 19. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． （1）求抛物线的对称轴； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 20. 如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． （1）求证：； （2）连接，求的大小； （3）作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $