13.1—13.2 三角形中的边角关系 命题与证明题型过关专练-2025-2026学年沪科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

13.1—13.2 三角形中的边角关系 命题与证明 一、三角形中的边角关系 （1）三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 （2）三角形的基本要素 顶点：三角形任意两边的公共点。 边：组成三角形的三条线段。 内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角。 （3）三角形的分类（按边分类） 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 （4）三角形的三边关系 三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。 即若三角形的三边分别为a、b、c，则有： a + b > c a + c > b b + c > a |a - b| < c |a - c| < b |b - c| < a （5）三角形中边的应用 判断三条线段能否构成三角形：只需判断较短的两边之和是否大于第三边。 确定三角形第三边的取值范围：设已知两边长为a、b，第三边长为c，则a - b < c < a + b。 二、命题与证明 （1）定义 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。定义必须是严密的，避免使用含糊性的词语，并应给出此事物与其他事物的本质区别。 （2）命题 定义：可以判断正确或不正确的陈述语句叫做命题。命题必须是一个完整的句子，具有“判断”作用。 （3）种类： 真命题：经判断是正确的命题。 假命题：经判断是错误的命题。 （4）命题的结构 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。其中，“如果”引出的部分是命题的条件（或题设），“那么”引出的部分是命题的结论（或题断）。 （5）互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，这样的两个命题称为互逆命题。其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。 特点：原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系。 （6）反例 定义：符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。 作用：判断一个命题是假命题时，只需举出一个反例即可。 （7）证明的基本方法 综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论。 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件或已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题成立。 巩固课内例1:等腰三角形的周长与边长 1．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D．不确定 2．已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 3．等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x，求： (1)y关于x的函数表达式． (2)自变量x的取值范围． (3)腰长时，底边的长． 想一想 当时，的值是多少？对本例有意义吗？当呢？ 巩固课内例2:求三角形的内角度数 1．在中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中 ． 3．如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 巩固课内例3:指出命题的条件与结论 1．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 2．将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 3．完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 巩固课内例4:写出逆命题并判断真假 1．下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 3．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 巩固课内例5:推理依据——证平行 1．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 3．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 巩固课内例6:推理依据——双平分线 1．下列4个命题中，为假命题的是（   ） A．一对对顶角的角平分线在同一直线上 B．一对邻补角的角平分线互相垂直 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．如图，在内，点O是三角形三条角平分线的交点，若，则＝ ． 3．如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 巩固课内例7:三角形的外角 1．如图，，，是的角平分线，则度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点O是内一点，延长交于点D，若，，，则 ． 3．如图，中，和分别是相邻的外角，请说明：三角形的外角和等于． 类型一、组成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，7 2．现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 类型二、求直角三角形的角度 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 3．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，求的度数． 类型三、真、假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．若，则 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．相等的角是对顶角 2．“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 类型一、三条重要线段——高 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 3．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 类型二、三条重要线段——中线 1．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 3．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 类型三、三条重要线段——角平分线 1．如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 3．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 类型一、反例 1．若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　） A． B． C． D． 2．能说明命题“当为自然数时，”是假命题的反例是 ． 3．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 类型二、角平分线与高的夹角问题 1．如图，在中，是角平分线，是高，，求（    ）（用和来表示） A． B． C． D． 2．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 3．如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 类型三、多角问题 1．如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 3．沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1—13.2 三角形中的边角关系 命题与证明 一、三角形中的边角关系 （1）三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 （2）三角形的基本要素 顶点：三角形任意两边的公共点。 边：组成三角形的三条线段。 内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角。 （3）三角形的分类（按边分类） 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 （4）三角形的三边关系 三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。 即若三角形的三边分别为a、b、c，则有： a + b > c a + c > b b + c > a |a - b| < c |a - c| < b |b - c| < a （5）三角形中边的应用 判断三条线段能否构成三角形：只需判断较短的两边之和是否大于第三边。 确定三角形第三边的取值范围：设已知两边长为a、b，第三边长为c，则a - b < c < a + b。 二、命题与证明 （1）定义 能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。定义必须是严密的，避免使用含糊性的词语，并应给出此事物与其他事物的本质区别。 （2）命题 定义：可以判断正确或不正确的陈述语句叫做命题。命题必须是一个完整的句子，具有“判断”作用。 （3）种类： 真命题：经判断是正确的命题。 假命题：经判断是错误的命题。 （4）命题的结构 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。其中，“如果”引出的部分是命题的条件（或题设），“那么”引出的部分是命题的结论（或题断）。 （5）互逆命题 定义：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，这样的两个命题称为互逆命题。其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。 特点：原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系。 （6）反例 定义：符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。 作用：判断一个命题是假命题时，只需举出一个反例即可。 （7）证明的基本方法 综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论。 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件或已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题成立。 巩固课内例1:等腰三角形的周长与边长 1．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为时，当等腰三角形的腰长为时． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，此时三边长分别为4,4,7， ∴三角形的周长是； 当等腰三角形的腰长为时，此时三边长分别为4,7,7， ∴三角形的周长是； ∴三角形的周长是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 2．已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，三角形的三边为，，，由于，不能构成三角形； 当为底时，三角形的三边为，，，可以构成三角形，周长为：． 故答案为：． 3．等腰三角形的周长为10，底边长为y，腰长为x，求： (1)y关于x的函数表达式． (2)自变量x的取值范围． (3)腰长时，底边的长． 想一想 当时，的值是多少？对本例有意义吗？当呢？ 【答案】(1)； (2)； (3)底边的长为4；想一想：见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的周长计算公式求解即可； （2）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （3）把代入（1）中函数表达式求出y即可； 想一想：分别把和代入函数表达式求出对应的y值，然后根据三角形的边长不能为负及三角形三边关系定理得出结论． 【详解】（1）解：由三角形的周长为10，得， ∴； （2）解：∵x，y是三角形的边长， ∴，，， ∴， 解得：， 即自变量x的取值范围是； （3）解：当，即时，， 所以当腰长时，底边BC长为4． 想一想： 当时，， ∵三角形的边长不能为负， ∴对本例没有意义； 当时，， ∵， ∴此时不能构成三角形，对本例没有意义． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，解一元一次不等式组以及函数的知识，解题的关键是正确求得y与x之间的函数关系，难度不大． 巩固课内例2:求三角形的内角度数 1．在中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直接根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，中 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理为是解题的关键． 根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 巩固课内例3:指出命题的条件与结论 1．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 2．将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果…那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可． 【详解】解：根据命题的定义，将“对顶角相等”改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 3．完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． （2）内错角相等，两直线平行． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，不等式的性质，命题的真假，正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （2）根据正确的命题就是真命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （3）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． （4）通过举反例来判断其为假命题，命题是由条件和结论组成的，进行分析，即可作答． 【详解】解：假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 假设，满足，但不满足，故如果，那么是错误的命题； 如表： 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等． 两直线平行 内错角相等 真命题 （2）内错角相等，两直线平行． 内错角相等 两直线平行 真命题 （3）如果   ，那么 ． 假命题 （4）如果  ，那么 ． 假命题 巩固课内例4:写出逆命题并判断真假 1．下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 2．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等， 结论是：那么这两个三角形的对应边相等， ∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等． 3．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，正确写出逆命题是解此题的关键． （1）先写出原命题的逆命题，再根据数的整除判断即可； （2）先写出原命题的逆命题，再根据直角的概念判断即可． 【详解】（1）解：如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除，逆命题是如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题， 反例：30能被5整除，但个位数字不是5； （2）解：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题， 反例：两个角都是，但都不是直角． 巩固课内例5:推理依据——证平行 1．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③如果直线，直线，那么，真命题； ④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 2．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设 ，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据 ，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾． 说明假设不成立，所以 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 3．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 巩固课内例6:推理依据——双平分线 1．下列4个命题中，为假命题的是（   ） A．一对对顶角的角平分线在同一直线上 B．一对邻补角的角平分线互相垂直 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查对顶角与邻补角的性质，平行公理及推论，真假命题，属于基础题． 根据对顶角与邻补角的性质、平行公理及推论逐项判断即可． 【详解】解：A、一对对顶角的角平分线在同一直线上，真命题，故选项不符合题意； B、一对邻补角的角平分线互相垂直，真命题，故选项不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，真命题，故选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在内，点O是三角形三条角平分线的交点，若，则＝ ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线定义可得，即可求得． 【详解】解∶∵， ∴， ∵点O是三角形三条角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 3．如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 (3)①真命题；②假命题 【分析】题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据（1）证明即可得出结论； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行是真命题； ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 巩固课内例7:三角形的外角 1．如图，，，是的角平分线，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线定义，先根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，点O是内一点，延长交于点D，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题关键是牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”． 先利用三角形的外角性质得出，，再结合已知角求解即可可得出的度数． 【详解】解：∵点O是内一点，延长交于点D， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 故答案为：． 3．如图，中，和分别是相邻的外角，请说明：三角形的外角和等于． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，由三角形外角的定义得到，，，然后结合即可求解． 【详解】解：，，， 三式相加，得： ， ． 类型一、组成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，7 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2．现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 【答案】7/七 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 则， 即， ∴可取，，，，，，，有7种取法； 故答案为：7． 3．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 类型二、求直角三角形的角度 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角可用减去已知锐角计算得出． 【详解】解：在直角三角形中，直角为，两个锐角的和为， 已知其中一个锐角是， 则另一个锐角的度数为：， 因此，另一个锐角的度数是， 对应选项B． 2．如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的知识，先将两个直角三角形分开求解出的度数，再利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：在中，可求得， 在中，可求得， 则在四边形中， ， 所以的度数为． 故答案为． 3．在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ，， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握内角和定理是解决本题的关键. 类型三、真、假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．若，则 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，掌握相关知识是解决问题的关键．根据所学的知识逐项判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题错误，故此选项不符合题意； B、若，则或，原命题错误，故此选项不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原命题正确，故此选项符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是， ∴逆命题是如果，那么， 当，时，，但， ∴该命题是假命题． 故答案为：如果，那么；假． 3．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 类型一、三条重要线段——高 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形； 故选：A． 2．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 3．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形的高线、中线画法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）结合图形，找出以为高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据图形得：为以为高的三角形． 类型二、三条重要线段——中线 1．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 2．如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 3．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 类型三、三条重要线段——角平分线 1．如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出是解题关键． 根据角平分线定义求出，根据垂线定义求出，相减即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三角形的角平分线得到，再由平行得到，即可等量代换出结果． 【详解】解：．理由如下： 是的角平分线， ． ， ， ． 类型一、反例 1．若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和假命题的判断，逐项进行计算，然后进行判断即可． 【详解】解：A. ，，有，且 ，不符合题意； B.，，有，且 ，不符合题意； C.，，有，不符合题意； D. ，，有，且 ，符合题意； 故选：D． 2．能说明命题“当为自然数时，”是假命题的反例是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是命题的真假判断以及有理数的乘方运算．通过计算不同值时与的大小关系，来判断命题“当为自然数时，”是否成立；当找到一个值使得时，就说明该命题是假命题． 【详解】当时，，，，满足， 当时，，，，满足， 当时，，，，满足， 当时，，，，不 满足，； 所以能说明该命题是假命题的反例是． 故答案为：． 3．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 类型二、角平分线与高的夹角问题 1．如图，在中，是角平分线，是高，，求（    ）（用和来表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由角平分线得到，由高得到，再根据角度的和差计算即可表示． 【详解】解：， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线，三角形高的定义和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答． 【详解】解：∵， ， 又∵是的平分线， ， 又∵是的高线， ， 在中，， 于是． 故答案为：20． 3．如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义可知，然后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 类型三、多角问题 1．如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了外角的性质和三角形的内角和定理，先根据两次外角性质得到相关角的关系，再根据三角形的内角和即可得到答案； 【详解】解：如图：， ， ∵， ∴， 故的度数是， 故选：B． 2．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 【答案】 【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， ，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $