第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（基础+中等类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、真假命题 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．不等式的正整数解只有1 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，不等式的整数解，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识， 根据直角三角形的两个锐角互余，不等式的正整数解有1和2，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A，直角三角形的两个锐角互余，故本选项错误； B，不等式的正整数解有1和2，故本选项错误； C，逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项正确； D，用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设，故本选项错误． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列命题是假命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的性质、垂直以及对顶角相等逐项判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题； B、两直线平行，内错角相等，为真命题； C、同位角相等，两直线平行，为真命题； D、对顶角相等，为真命题； 故选：A． 2．下列5个命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③平行于同一条直线的两直线平行；④互补的角是邻补角；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；真命题共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了命题与定理，利用对顶角的性质对①进行判断；根据平行线的性质可对②③进行判断；根据邻补角的定义对④进行判断；根据平行公理对⑤进行判断． 【详解】解：对顶角相等，所以①为真命题； 因为缺少两直线平行，故同位角相等不一定成立，所以②为假命题； 平行于同一条直线的两直线平行，所以③为真命题； 互补的角不一定相邻，所以④为假命题； 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以⑤为真命题． 综上所述，真命题有①③⑤，一共3个． 故答案为3． 3．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式 ． 【答案】 真命题 “如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行” 【分析】本题考查了命题，根据平行公理的推论可判断命题的真假，找出命题的题设和结论，再改写成“如果那么”的形式即可，掌握课本基本知识是解题的关键． 【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题， 写成“如果那么”的形式是“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”， 故答案为：真命题；“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”． 类型二、写出命题的题设与结论 【解惑】对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 2．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题与定理，正确得出命题的题设和结论是解题的关键．​​​​​​​根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 3．“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 类型三、写出命题的逆命题 【解惑】下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么且． 如果，那么或．所以这个逆命题为假命题，不合题意； B．逆命题为：内错角相等，两直线平行． 这个逆命题为真命题，符合题意； C．逆命题为：多边形是四边形． 多边形不一定是四边形，所以这个逆命题是假命题，不合题意； D．逆命题为：如果，那么． 如果，那么或．所以这个逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 2．把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法． 一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论． 【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 3．命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 【答案】如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形 【分析】本题考查了逆命题的概念，解题的关键是掌握逆命题的构造方法，即交换原命题的题设和结论．​ 先明确原命题的题设是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的两组对边分别相等”；再交换题设和结论，即可得到原命题的逆命题．​ 【详解】解：原命题的题设为“一个四边形是平行四边形”，结论为“这个四边形的两组对边分别相等”．​ 根据逆命题的定义，交换题设和结论后，逆命题为 “如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形”．​ 故答案为：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形． 类型四、反例 【解惑】对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了如何正确举反例，举反例就是要符合题设不符合结论，根据这个进行举反例．对于要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子进行判断即可． 【详解】解：选项A：此时，不满足，排除； 选项B：此时，不满足，排除； 选项C：此时，且，结论成立，排除； 选项D：此时，满足，但，结论不成立； 因此，D是符合要求的反例． 故选：D ． 【融会贯通】 1．能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 根据实数的大小比较法则、实数的立方、假命题的概念解答． 【详解】解：A．时，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B．时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C．，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； D．时，，而，说明命题“若，则”是假命题，符合题意； 故选：D 2．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．根据题意解题即可． 【详解】解：由题意，当时， 满足， 但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 类型五、三角形的条件与稳定性 【解惑】以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，5 C．4，6，8 D．6，6，12 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C 【融会贯通】 1．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：由“放一个三脚架来固定和支撑相机”可知，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 2．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 3．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 类型六、三条重要线段——高 【解惑】已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大， 根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：∵不等边三角形的两条高的长度分别为4和12， 故根据面积相等可设不等边三角形的两边长为，x； ∵， ∴面积， 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：第三边长度， ∵要求高的最大长度， ∴当第三边最短时，在第三边上的高就越长， 第三边的长高，高，高， ∴高， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各组图形中，是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键． 根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 2．在锐角中，、分别是、边上的高，且相交于点P，，则是 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形内角和是”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由、分别是、边上的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出，由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：∵、分别是、边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 3．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)画出中边上的高，垂足为． (2)画出中边上的中线． (3)直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键． （1）找到所在水平网格线与点C所在竖直网格线的交点即为D点； （2）根据长为6个小方格对角线，从点B或点C向数3格对角线长的位置即为的中点K，连接； （3）根据可得，根据的长可求出，即可得的值． 【详解】（1）解：在网格上找所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接、， ∵水平网格线与竖直网格线互相垂直， ∴， 即是边上的高． （2）解：∵长为6个小方格的对角线， ∴从点B沿数3个小格的对角线，此点即为的中点K，连接，则是边上的中线． （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 类型七、三条重要线段——角平分线 【解惑】如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性． 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立． 【详解】解：已知在中，，故． ∵平分，平分， ， ． 选项∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴， ∴ ，A正确． 选项∵，， ∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即． ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，B正确． 选项C：在中， ． ∵与是对顶角， ∴，C错误． 选项是的外角，则． ， ，D正确． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 无法证明，故C错误． 故选：C． 2．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 3．如图，在中，于D平分与交于点F，求． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度． 根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵于D， ∴， ∴． 故答案为：． 类型八、三条重要线段——中线 【解惑】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，是的中线，若，则的长为 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到即可得出结果． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 故答案为：4． 3．如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点，即可作出上的高； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：． 故答案为：． 类型九、三角形的内角和问题 【解惑】在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由，可得出，结合，可求出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：， ， 又， 即， ， 是直角三角形． 故选：A ． 【融会贯通】 1．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 2．如图，在中，，，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，最后在中，利用三角形内角和定理可知，代入即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：55． 3．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 类型十、三角形的外角和问题 【解惑】已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角与内角和定理，先设三角形三个内角分别为，，，再根据三角形的内角和定理列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可解答． 【详解】解：三角形三个内角的比为， 设这三个内角分别为，，， ， 解得， 这三个内角分别为，，， 这三个内角的外角分别为，，， 这个三角形三个外角的比为，即， 故选：B 【融会贯通】 1．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，进而根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：． 3．已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 【答案】(1)55 (2) 【分析】（1）延长交于点Q，则可得到，则，连接并延长到点R，则可得，，可得到和的关系，从而求解； （2）作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 连接并延长到点R，则可得：，， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：55； （2）解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明思维导图 【类型覆盖】 类型一、真假命题 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．不等式的正整数解只有1 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设 【融会贯通】 1．下列命题是假命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．对顶角相等 2．下列5个命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③平行于同一条直线的两直线平行；④互补的角是邻补角；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；真命题共有 个． 3．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式 ． 类型二、写出命题的题设与结论 【解惑】对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【融会贯通】 1．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 2．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 3．“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 类型三、写出命题的逆命题 【解惑】下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【融会贯通】 1．下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 2．把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 3．命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 类型四、反例 【解惑】对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 类型五、三角形的条件与稳定性 【解惑】以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．2，3，5 C．4，6，8 D．6，6，12 【融会贯通】 1．如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 2．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 3．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是 ． 类型六、三条重要线段——高 【解惑】已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 【融会贯通】 1．下列各组图形中，是的高的图形是（   ） A． B． C． D． 2．在锐角中，、分别是、边上的高，且相交于点P，，则是 度． 3．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)画出中边上的高，垂足为． (2)画出中边上的中线． (3)直接写出 ． 类型七、三条重要线段——角平分线 【解惑】如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 3．如图，在中，于D平分与交于点F，求． 类型八、三条重要线段——中线 【解惑】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 2．如图，是的中线，若，则的长为 3．如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 类型九、三角形的内角和问题 【解惑】在中，若，则这个三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【融会贯通】 1．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则 ． 3．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 类型十、三角形的外角和问题 【解惑】已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（       ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 3．已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 6 学科网（北京）股份有限公司 $