精品解析：2024-2025学年贵州省遵义市八年级下学期期末模拟数学试卷（二）

2024-2025学年贵州省遵义市八年级（下）期末模拟 数学（二） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放云南新闻”是必然事件 B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 C. 数据“6，8，7，5，8”的中位数是7，众数也是7 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 4. 估算的结果在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 7. 国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C D. 12. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示．桌面长为，(小球与木块大小厚度忽略不计)，小球与木块同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回 (忽略转向时间)， 并保持原速直线运动，撞击木块后被反弹，再次保持原速向挡板直线运动， 如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的函数关系部分图象．以下说法正确的是（ ） ①； ②小球的速度为 ； ③小球第一次返回时，与之间满足 ； ④ 当小球从出发至第一次、相遇过程中，小球与木块距离为时，或 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 在二次根式中，取值范围是__________． 14. 如图，在菱形中，，点是的中点，点为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为______． 15. 新高考实行“3+3”模式．为了解学生选报科目的选择情况，随机抽取部分高中学生进行调查，A：政、史、生；B：物、化、政；C：物、化、生；D：政、史、地，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．则在被调查的学生中选择物、化、生的人数是________． 16. 正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 某校为培育学生劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，在全校开展了“做好家务劳动”倡议活动，家务劳动包括：扫地、拖地、擦门窗、洗碗、洗衣、做饭、整理收纳、简单维修、其它家务等九项．为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生就四月份做过上述几项家务劳动的情况进行了调查，并根据调查结果绘制了如下统计图． （1）本次被抽取的学生人数为______人； （2）补全条形统计图，扇形统计图中，“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______； （3）若该校有学生人，请估计该校四月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生人数． 19. 如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． （1）画出，使得和关于直线对称； （2）请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 20. 如图，四边形中，，为的中点，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． （1）求与之间的函数表达式； （2）当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 22. 如图，直线，相交于点，点是直线，外的一点，请按下列语句选择适当的工具画图，并解答问题： （1）分别过点画，交于点，画，交于点； （2）过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段________的长； （3）在（1）（2）的条件下，若，求和的度数． 23. 鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 24. 如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 （1）求直线的表达式． （2）点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 25. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年贵州省遵义市八年级（下）期末模拟 数学（二） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断；最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母；根据定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ：，其中为完全平方数，故A不是最简二次根式； B. ：，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C. ：分母含根号，故C不是最简二次根； D. ：，无完全平方因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件； 故选D． 2. 设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入得，解得m=，再根据正比例函数增减性判断m的值． 【详解】把点代入得：， 解得：m=， ∵的值随x值的增大而减小， ∴m<0， ∴m=-2． 故选：B． 【点睛】考点：正比例函数的性质． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放云南新闻”是必然事件 B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 C. 数据“6，8，7，5，8”的中位数是7，众数也是7 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的意义，熟练掌握定义是解题关键．根据必然事件的定义、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的意义逐项判断即可得． 【详解】A.“打开电视机，正在播放云南新闻是随机事件，故该选项错误； B.“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性为50%，故该选项错误； C.数据“6，8，7，5，8”的中位数是7，众数是8，故该选项错误； D.方差越小，数据的波动性越小，甲、乙的方差分别为0.2，0.4，且，故甲的成绩更稳定，故该选项正确． 故选D． 4. 估算的结果在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，将原式化简为，估算的值范围，再减去2确定结果所在范围，即可作答． 【详解】解：， 故原式为， ∵， ∴， ∴， 的结果在1和2之间， 故选：B． 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可． 【详解】A. ，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形ABCD是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C. 可判定平行四边形ABCD为菱形，符合题意； D. ，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键． 6. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形的性质判断即可，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 7. 国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，图形的形状和大小不发生改变，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质逐项直观判断即可． 【详解】解：根据平移的性质可知，图形的形状和大小不发生改变， A. 图形的形状和大小均没发生改变，故该选项符合题意； B.图形的大小发生了变化，故该选项不符合题意； C.图形是旋转变化，故该选项不符合题意； D. 图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意． 故选：A． 8. 对于某个一次函数（），根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵一次函数的图象不经过第一象限，函数图象经过点， ∴图象经过第二、三、四象限， ∴， ∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 、∵函数图象经过点， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：由条件可知这两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形边长为， 故选：D． 10. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、有理数的加法法则，根据一次函数与均为随增大而减小，可得：，，所以可得：，，根据一次函数与轴交点在轴上方，可得：，根据一次函数与轴交点在轴下方，，从而可得：，，根据计算结果进行判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与均为随增大而减小， ，， ，， 故A选项错误，C选项正确； 一次函数与轴交点在轴上方， ， 一次函数与轴交点在轴下方， ， ，， 故B选项和D选项错误． 故选：C． 11. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 12. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示．桌面长为，(小球与木块大小厚度忽略不计)，小球与木块同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回 (忽略转向时间)， 并保持原速直线运动，撞击木块后被反弹，再次保持原速向挡板直线运动， 如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的函数关系部分图象．以下说法正确的是（ ） ①； ②小球的速度为 ； ③小球第一次返回时，与之间满足 ； ④ 当小球从出发至第一次、相遇过程中，小球与木块距离为时，或 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解①②；求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解；利用待定系数法计算可以得解③；依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和计算即可． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是， 故①是不符合题意的； ∴小球P的速度为， 故②是符合题意的； 由题意，， 又， ∴， ∴， 答：a的值为64，木块Q的运动速度． 由题意，设小球P第一次返回时，， 将，代入 得 解得， ∴． 故③是符合题意的； 由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ,又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 故④是符合题意的； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 在二次根式中，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：2x＋4≥0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：2x＋4≥0， 解得： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 14. 如图，在菱形中，，点是的中点，点为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 15. 新高考实行“3+3”模式．为了解学生选报科目的选择情况，随机抽取部分高中学生进行调查，A：政、史、生；B：物、化、政；C：物、化、生；D：政、史、地，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．则在被调查的学生中选择物、化、生的人数是________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数和部分数等知识点，解题的关键是掌握求总数的公式． 先根据部分的实际数除以其所占比值求出总数，再利用总数减去其他部分数即可得出答案． 【详解】解：本次调查的人数为（人）， ∴选择物、化、生的人数为（人）， 故答案为：100． 16. 正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键．首先利用一次函数解析式结合正方形的性质求出的坐标，可以得到规律：，据此即可求解． 【详解】解：∵点在直线上，点在轴上，且为正方形， 当时，， ∴，，； 当时，， ∴，，； 当时，， ∴，，； ； ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 某校为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，在全校开展了“做好家务劳动”倡议活动，家务劳动包括：扫地、拖地、擦门窗、洗碗、洗衣、做饭、整理收纳、简单维修、其它家务等九项．为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生就四月份做过上述几项家务劳动的情况进行了调查，并根据调查结果绘制了如下统计图． （1）本次被抽取的学生人数为______人； （2）补全条形统计图，扇形统计图中，“项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______； （3）若该校有学生人，请估计该校四月份参与家务劳动项目数量不超过项的学生人数． 【答案】（1） （2）补图见解析， （3）人 【解析】 【分析】（）用“项”的学生人数除以其百分比即可求解； （）求出“项”的学生人数，即可补全条形统计图，用乘以“项及以上”的学生人数占比可求出所对应的扇形的圆心角度数； （）用乘以家务劳动的项目数量不超过项的学生人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴本次被抽取的学生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“项”的学生人数为人， ∴补全条形图如下： “项及以上”部分所对应的扇形的圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故：该校四月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人． 19. 如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． （1）画出，使得和关于直线对称； （2）请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的定义确定关于直线的对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据网格作出线段的垂直平分线，垂直平分线与直线的交点即为所求的点P． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：点P即为所求． 20. 如图，四边形中，，为的中点，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质等知识点． （1）先证明，则，，可得为中位线，则，即，证明四边形是平行四边形，则，即，即可证明； （2）过点作于点，由角直角三角形性质以及勾股定理求解，再在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为中位线， ∴，即 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． （1）求与之间的函数表达式； （2）当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，由题知时，；时，．利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求得的关系式中求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 由题知时，；时，； ， 解得， ∴设与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由得， 当，， ∴减速带的总长度是． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． 22. 如图，直线，相交于点，点是直线，外的一点，请按下列语句选择适当的工具画图，并解答问题： （1）分别过点画，交于点，画，交于点； （2）过点作，垂足为，则点到直线的距离是线段________的长； （3）在（1）（2）的条件下，若，求和的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析； （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了画平行线和垂线，平行线的性质，垂线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据题意用直尺和三角板画平行线即可； （2）用三角板作垂线，根据点到直线的距离进行回答即可； （3）设，，根据，求出，得出，，然后根据垂线的定义和平行线的性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，、即为所求作的平行线； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的垂线，点到直线的距离是线段的长． 【小问3详解】 解：由题意可设，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式； （2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束， 根据题意得：， 与之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 对于， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元． 24. 如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 （1）求直线的表达式． （2）点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）对于一次函数，令，得到，由，得到，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，，分两种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，由平行四边形的对角线的中点重合，根据中点公式列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在点D，点A，B，D，E构成以为边的平行四边形．理由如下： 对于一次函数，令，则， 解得， ∴， ∵点E为直线上一动点，点D在y轴上， ∴设，， ①当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； ②当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 25. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）延长至点，使，连接，可证明，得， ，再证明，进而证明，得，由 可得，即可求证； （）延长到点，使，连 接，同理（）证明即可； （）延长到点，使，连接， 同理（）可证，得到，即得，即得到，即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的周长为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $