精品解析：2025年安徽省中考数学第二次模拟信息卷

2025年安徽中考数学第二次模拟信息卷 注意事项： 1．本卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请务必在“答题卷”答题，在试题卷上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 5. 如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 6. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 7. 如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（ ） A 2 B. C. D. 10. 如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 已知方程的两个解分别为a，b，则______． 13. 晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 14. 已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 三、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长是个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点都在格点(网格线的交点)上． （1）点 的坐标为，以点 为旋转中心，将顺时针旋转至； （2）点 通过（1）中旋转后，对应点 的坐标为 ； （3）用无刻度直尺在边上作出一点，使得 (保留作图痕迹)． 四、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元． 18. 观察下列等式： ① ② ③ ④ …… （1）请根据你发现的规律填空：________=________； （2）用含的等式表示上面的规律：_________； （3）用你发现的规律解决下列问题： 计算． 五、（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 20. 如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 六、（本大题共一小题，每小题12分，共12分） 21. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 七、（本大题共一小题，每小题12分，共12分） 22. 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 八、（本大题共一小题，每小题14分，共14分） 23. 在平行四边形中，，，．作直线l使之与边、射线分别相交于点E、F（注：）．再把四边形沿直线折叠，记点A、B的对应点分别为M、N，记与直线的交点为O． （1）当直线射线时，请根据下面的条件求m的值． ①如图1，若点E和点A重合，点N和点C重合，则： ，平行四边形是 ； ②若，，则 ； （2）当，，射线交于点K，交延长线于点H，且时，求的值． （3）若，且点N落在四边形内部含边界，当与四边形重叠部分面积在24和30之间时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽中考数学第二次模拟信息卷 注意事项： 1．本卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请务必在“答题卷”答题，在试题卷上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先由得到，然后合并求解即可． 【详解】 ． 故选：D． 3. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的意义，根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：部件“榫”的实物图的俯视图是： 故选：B． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，算术平方根的计算，掌握以上知识及计算法则是关键． 根据整式的混合运算法则，算术平方根的计算方法判定即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意，； 故选：D ． 5. 如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．设中点为点O，连接，先证得，再根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：设中点点O，连接， ∵是半圆的直径， ∴O是半圆的圆心，， ∵是等腰直角三角形， ∴D是中点． ∴， ∴， ， ， ∴阴影部分的面积， ， ， 故选：A． 6. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 如图：过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：如图：过点A作轴，过点B作轴， ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ，即， ， ∵，轴， ， ， ， ， ， ，解得：． 故选B． 7. 如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 8. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．由得，代入，即可求得，同理可求得，再根据不等式的基本性质，可逐步求得，的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 选项A错误； ， ， ， ， ， ， 选项B错误； ，， ， ， ， 选项C正确； ，， ， ， ， 选项D错误． 故选：C． 9. 如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④． 【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线过点，对称轴为直线， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， ∴， ∴，故结论②错误； ∵是抛物线上的两点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴当时，， 故结论③正确； ∵该二次函数图像与轴交于，， ∴， 若方程的两个根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不等于零，被开方数为非负数列出不等式组计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意， 解得：， 故答案为：． 12. 已知方程的两个解分别为a，b，则______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系得出，，变形后代入，即可求解． 【详解】解：方程的两个实数根为a、b， ，， ∴， 故答案为：2024． 13. 晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率等．四张形状相同的小图片分别用表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，继而再画出树状图，计算即可． 【详解】解：四张形状相同的小图片分别用表示，其中和合成一张完整图片，和合成一张完整图片，画树状图如下： ， 共有种等可能结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果为４， ∴两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：． 14. 已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段________． （2）点运动过程中，线段的最小值是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、负整数指数幂，按照运算顺序计算即可，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，在由边长是个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点都在格点(网格线的交点)上． （1）点 的坐标为，以点 为旋转中心，将顺时针旋转至； （2）点 通过（1）中旋转后，对应点 的坐标为 ； （3）用无刻度直尺在边上作出一点，使得 (保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，写出点的坐标，格点作图； （1）根据旋转的性质，找到绕顺时针旋转的对应点，，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）取为顶点的格点，连接交于点，则点即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：根据坐标系可得 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求 四、（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元． 【答案】购买1副乒乓球拍为28元，1副羽毛球拍为60元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是找对等量关系列出方程． 假设出两种球拍的单价，根据两种购买方式进行列出方程，解方程即可． 【详解】解：设购买1副乒乓球拍为元，1副羽毛球拍为元，根据题意得， 解方程组得， 所以，购买1副乒乓球拍为28元，1副羽毛球拍为60元． 18. 观察下列等式： ① ② ③ ④ …… （1）请根据你发现的规律填空：________=________； （2）用含的等式表示上面的规律：_________； （3）用你发现的规律解决下列问题： 计算． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：49，． 【小问2详解】 解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：原式， 故答案为：． 五、（本大题共两小题，每小题10分，共20分） 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由四边形的面积为40求出，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 如图，连接， 四边形的面积为40， ， ， ， ，则， 在中，， ． 六、（本大题共一小题，每小题12分，共12分） 21. 某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； （2）所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）6 （2）83 （3）45人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图的相关知识，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据其他等级的所占的百分比为求出调查的总人数，再根据合格的百分比为即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵体育成绩在合格的人数所占的百分比为 ∴其他等级的所占的百分比为 ∴总人数人， ∴所抽取的学生中体育成绩为合格的人数人； 【小问2详解】 解：20个人中位数是第10和第11个人成绩的平均数， 即中位数是分， 故答案为：83； 【小问3详解】 解：七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数人． 七、（本大题共一小题，每小题12分，共12分） 22. 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？请说明理由． （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①；②石块能飞跃防御墙，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键； （1）①由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； ②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； （2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围； 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且， ∴函数的最大值为10，即； ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴； ②石块能飞跃防御墙； 理由如下：由题意知，点B的坐标为； 由于防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，则； 对于，当时，， ∴石块能飞跃防御墙； 【小问2详解】 解：由于抛物线过原点，则， 即； ∴， 当抛物线过点时，，解得， 当抛物线过点时，，解得， ∴， 故要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点B，C），a的取值范围为． 八、（本大题共一小题，每小题14分，共14分） 23. 在平行四边形中，，，．作直线l使之与边、射线分别相交于点E、F（注：）．再把四边形沿直线折叠，记点A、B的对应点分别为M、N，记与直线的交点为O． （1）当直线射线时，请根据下面的条件求m的值． ①如图1，若点E和点A重合，点N和点C重合，则： ，平行四边形是 ； ②若，，则 ； （2）当，，射线交于点K，交延长线于点H，且时，求的值． （3）若，且点N落在四边形内部含边界，当与四边形重叠部分的面积在24和30之间时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①8，菱形；②13或15 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①当直线射线时，根据轴对称的性质可得，证明是等边三角形，得出，即可证明平行四边形是菱形； ②如图1，作于点T，在中，，；证明四边形是矩形，得出，，由折叠性质及已知得，分为当点N在边上时，和当点N在边延长线上时，分别求解即可． （2）如图2，作直线l交于点I，证明是等边三角形，得出．证明四边形是平行四边形，得出，，，．结合点B与点N关于直线l对称，得出直线l于点O（即），，，即可求出，证明，得出，再由得，即可得，，，在平行四边形中有，即可得，记与的交点为G，得出，即可得，，，，即可求出． （3）如图，过点A作于T，过点E作于R，则四边形是矩形，得出，当点N在四边形的内部（含边界），由对称性知，与四边形重叠部分的面积即为的面积．①当的面积等于24时，求出，得出，根据，即可求出；②当的面积等于30时，求出，得出，即可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：①当直线射线时， 根据轴对称的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：8，菱形； ②解：如图1，作于点T， 则：在中，，； 又∵直线， ∴，点M、N分别在射线、射线上， 平行四边形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴由折叠性质及已知得：， ∴当点N在边上时，， 当点N在边延长线上时，， 综上，m的值为13或15． 故答案为：13或15． 【小问2详解】 解：如图2，作直线l交于点I， 则：， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵平行四边形中， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 又∵点B与点N关于直线l对称，， ∴直线l于点O（即），，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 再由得， ∴，， ∴， ∴在平行四边形中有， ∴， 记与的交点为G， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点A作于T，过点E作于R， 则四边形是矩形， ∴， 当点N在四边形的内部（含边界），由对称性知，与四边形重叠部分的面积即为的面积． ①当的面积等于24时，的面积为：， ∴， ∴， ∴， ， ； ②当的面积等于30时，的面积为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 综上，当点N在四边形内部（含边界）时，若与四边形重叠部分的面积在24和30之间时，则． 【点睛】该题是几何综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $