第1章 集合与逻辑 单元检测（提升卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑单元检测（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1. 已知集合，则________． 2.满足的集合A的个数（ ） A. B. C. D. 3．设集合，用列举法表示为 ． 4.“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 5.若p：﹣a＜x＜a+1是q：﹣2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　　． 6.已知全集，若，，，则集合 . 7.已知集合,则的值为____________． 8.设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a++7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为_______ 9.已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为___________ 10.集合或，，若，则实数的范围是________ 11.定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 12.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 二、选择题 13.用反证法证明命题“设a，b，c为实数，满足a+b+c＝6，则a，b，c至少有一个数不小于2”时，要做的假设是（　　） A．a，b，c都小于1 B．a，b，c都小于2 C．a，b，c至少有一个小于1 D．a，b，c至少有一个小于2 14.设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 15.如图，是全集，，，是子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 16.设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题 17.设集合，，若，求实数的值. 18．（1）求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. （2）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 19.设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 20.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. 21.已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； (3)若为正整数，求：“完美集”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑单元检测（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题 1. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可． 【详解】由题意可得：. 故答案为：． 2.满足的集合A的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，可知集合A必有元素2，可能含有元素， 可知满足条件的集合A的个数即为集合的子集个数，有个数. 故选：C. 3．设集合，用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】是自然数集，是整数集，所以对分类取值、逐一计算即可. 【详解】因为，所以 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，. 综上，. 【点睛】本题考查对常用数集符号的认识，同时考查学生的推理和计算、分类讨论的能力. 4.“若且，则且”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 5.若p：﹣a＜x＜a+1是q：﹣2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　　． 【答案】（2，+∞） 【解答】解：若p是q的必要不充分条件， 则（﹣2，3）⫋（﹣a，a+1）， 则a+1≥3 -a≤-2 即a≥2 a≥2，即a≥2， 当a＝2时，（﹣2，3）＝（﹣a，a+1）不成立， 故a＞2， 即实数a的取值范围是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）， 6.已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 7.已知集合,则的值为____________． 【答案】0或3 【解析】∵集合， ∴或， 解得或或， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，不成立． 综上，值为0或3． 故答案为：0或3 8.设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a++7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为_______ 【解答】解：由题意可得①当a2﹣3a＝4且|a﹣2|≠4时，解得a＝﹣1或4， a＝﹣1时，集合A＝{2，3，4，4}不满足集合的互异性，故a≠﹣1， a＝4时，集合A＝{2，3，4，11}，集合B＝{2，0}，符合题意． ②当a++7且|a﹣2|≠4，解得a＝﹣1，由①可得不符合题意． 综上，实数a的取值集合为{4}． 故选：D． 9.已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为___________ 【解析】因为＝{m2，m＋n，0}，m≠0， 所以 解得或 当m＝1时，不满足集合元素的互异性， 故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 故选：B． 10.集合或，，若，则实数的范围是________ 【解析】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 11.定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数. 【详解】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 故答案为：. 12.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数、方程与不等式 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题 13.用反证法证明命题“设a，b，c为实数，满足a+b+c＝6，则a，b，c至少有一个数不小于2”时，要做的假设是（　　） A．a，b，c都小于1 B．a，b，c都小于2 C．a，b，c至少有一个小于1 D．a，b，c至少有一个小于2 【答案】B 【解答】解：“a，b，c至少有一个数不小于2”的对立面就是“a，b，c都小于2”． 故选：B． 14.设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可. 【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 15.如图，是全集，，，是子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 16.设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，， 任意，即，则，即有， 因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误， 所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可. 三、解答题 17.设集合，，若，求实数的值. 【答案】 【解析】 因为，，， 若，则，当时，，不满足题意； 当时，，，满足题意； 若，则，此时，，则，不满足题意； 综上，. 18．（1）求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】结合判别式、根与系数关系，先证得充分性，然后证得必要性. 【解析】①充分性： 因为， 所以方程的判别式，且两根积， 所以方程有两个同号且不相等的实根. ②必要性： 若方程有两个同号且不相等的实根， 设两根为， 则有，解得. 综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证. （2）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【答案】证明过程见解析. 【解析】 假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数． 19.设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件的判定及性质 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 20.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 21.已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设中，得到，分，，进行分类讨论， 【详解】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $