第1章 集合与逻辑 单元检测（培优卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑单元检测（培优卷） 一、填空题 1．已知全集，，则 【答案】 【分析】根据补集的定义直接求解. 【解析】由题全集，，所以. 故答案为：. 2．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断. 【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 3．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【答案】且 【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可. 【解析】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 4．集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可. 【解析】依题意，由，解得或， 所以. 故答案为： 5.已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断元素与集合的关系 【分析】由，列不等式组即可求解. 【详解】因为，， 则有，解得， 故答案为： 6．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解. 【解析】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 7.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为_______ 【解答】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意， ②当m≠0时，△＝8a+1＝0，所以m＝﹣， 综上所述，a的集合为{﹣，1}， 8.已知集合，若，则实数a的值为_______ 【解析】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上： 9.设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“ ”. 【答案】或 【解析】假设结论的反面成立，即结论的否定．注意存在量词与全称量词的互换． 【解析】结论：且的否定是或． 故答案为：或． 10.若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 故答案为：0或． 11.已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【解析】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 12.设集合，，则满足，且的集合S的个数是 . 【答案】 【解析】求出集合的子集个数和满足，且的集合S的个数即可得到答案. 【解析】集合中元素的个数为2000，其子集个数为 集合，满足，且的集合S的个数是 所以满足，且的集合S的个数是 故答案为： 二、选择题 13.以下说法中正确的个数是（　　） ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合； ③方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：对于①：0表示一个元素，集合{0}表示含有元素0的一个集合，故不表示同一个集合，故错误； 对于②：集合M＝{3，4}表示集合中含有两个元素，N＝{（3，4）}表示含有一个元素，不表示同一个集合，故错误； 对于③：方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解的集合可表示为{1，2}，故错误； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示，只能使用性质描述法，故正确． 故选：B． 14．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 15．若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案. 【详解】根据可以看出 对A，； 对B，；            对C，  ； 对D，. 故选：D 16.非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】集合新定义 【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 三、解答题 17．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)是的真子集 (2) 【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集； （2）分，和三种情况，求出答案. 【解析】（1）， 时，， 故是真的子集 （2），故， 当时，，满足要求， 当时，若时，，解得， 若时，，解得， 故实数的取值集合为. 18．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 19.已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 20.（2021·上海高一专题练习）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}. （1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；　 （2）当A中有两个元素时，求a满足的条件； （3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件. 【答案】（1）答案见解析；（2）a>且a≠0；（3）a≥. 【解析】 解:（1）①当a=0时，方程3x4=0的根为x=. 故A={}. ②当a≠0时，由Δ=(3)24a·(4)=0，得 a=，此时方程的两个相等的根为x1=x2=. 综上，当a=0时，集合A中的元素为； 当a= 时，集合A中的元素为. （2）集合A中有两个元素，即方程ax23x4=0有两个不相等的实根. 所以 解得a>且a≠0. （3）集合A中有一个元素或两个元素. 当集合A中有两个元素时， 由（2）得a>且a≠0； 当集合A中有一个元素时，由（1）得a=0或a=. 综上，当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≥. 21．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【解析】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑单元检测（培优卷） 一、填空题 1．已知全集，，则 2．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 3．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 4．集合，集合，则 ． 5.已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 6．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 7.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为_______ 8.已知集合，若，则实数a的值为_______ 9.设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“ ”. 10.若集合的子集只有两个，则实数 ． 11.已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 12.设集合，，则满足，且的集合S的个数是 . 二、选择题 13.以下说法中正确的个数是（　　） ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合； ③方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示． A．0 B．1 C．2 D．3 14．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 16.非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 三、解答题 17．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 18．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 19.已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 20.（2021·上海高一专题练习）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}. （1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；　 （2）当A中有两个元素时，求a满足的条件； （3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件. 21．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $