2.7 角的和与差（第一课时）课件2025-2026学年冀教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕几何图形的初步认识展开，聚焦线段中点与角平分线的概念及其应用，通过从具体情境引入、动手操作验证到抽象归纳总结的递进式设计，构建起“图形关系—数量计算—逻辑推理”的学习支架，帮助学生逐步建立空间观念和符号意识。 其亮点在于融合了数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以活动二折纸探究角平分线定义为例，体现几何直观与创新意识，借助例题3的度数运算强化运算能力与推理意识，再通过第8题动态情境引导学生发现不变量，凸显理性思维与模型观念。这种由具象到抽象、由感知到思辨的教学路径，既提升学生的问题解决能力，又助力教师精准落实新课标要求，实现知识建构与素养发展的双目标。

第二章 几何图形的初步认识 2.7 第1课时 角的和与差及角平分线 AB=BC+AC BC=AB－AC AC=AB－BC 线段的和、差 线段中点 那么 AC=BC AC=BC= AB AB=2AC=2BC 若点C是线段AB的中点 复习 知识回顾 Administrator (A) - 设计逻辑： 开始新课前，通过复习线段的和、差以及线段中点的概念，为学生理解角的和、差及角平分线的概念打下基础。 教学提示： 在复习时，可以设计一些简单的问题或小练习，让学生快速回顾和应用旧知识，为新课内容做好铺垫。 图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC. ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和， 记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 它们的关系： ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC. A B O C 获取新知 一起探究 活动一 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过图形直观展示角的和与差的关系，引导学生观察和发现角之间的关系，培养学生的观察力和分析力。 教学提示： 在活动探究时，可以让学生先独立思考，然后小组讨论，最后教师总结，确保学生能够理解并掌握角的和与差的概念。 总结： 1.如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和． 2.如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差. 角的和与差 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过总结角的和与差的定义，帮助学生形成清晰的数学概念，为后续的角的计算和应用打下基础。 教学提示： 在总结时，可以结合具体的角的实例，帮助学生理解抽象的数学语言，同时鼓励学生提出自己的见解。 解：∠AOD=∠COB. 例1 如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？ 理由：因为∠AOC=∠DOB， 所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD， 所以∠AOD=∠COB. B A O C D 例题讲解 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过具体的例题，让学生应用角的和与差的概念解决问题，加深对概念的理解和应用。 教学提示： 在讲解例题时，可以引导学生一步一步分析问题，展示解题过程，让学生明白如何将理论知识应用到实际问题中。 B A O C 动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空： ∠AOC_____∠COB; ∠AOB=_____∠AOC. = 2 活动二 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过动手操作，让学生亲身体验角平分线的形成过程，加深对角平分线概念的理解。 教学提示： 在动手操作时，可以让学生先尝试自己操作，然后分享操作过程和发现，教师再进行点评和总结。 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的平分线. 几何语言 O B A C 角的平分线 ∵ OC 是∠AOB 的角平分线， ∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC. 注意：角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过定义角平分线的概念，帮助学生理解角平分线的性质，为后续的角平分线判定和应用打下基础。 教学提示： 在讲解角平分线时，可以结合图形展示，让学生直观感受角平分线的特点，同时强调角平分线的定义要点。 (2)折纸，使角的两边重合； (3)把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP. 如图：如何利用纸作角平分线？ (1)在半透明的纸上画出∠AOB； dell (d) - 这样设计的目的是让学生体会角平分线是“对称轴”，强化角平分线位置的特殊性，利于学生形象的认识角平分线. Administrator (A) - 设计逻辑： 通过具体的操作步骤，教授学生如何利用纸作角平分线，培养学生的动手能力和空间想象能力。 教学提示： 在指导学生操作时，要确保每个学生都能理解每一步的目的和操作方法，鼓励学生在操作中发现问题并提出疑问。 角平分线的判定方法 当 OD 在∠AOB 的内部且满足下列情况之一时，就可以判定 OD 是∠AOB的平分线： ① ∠AOD=∠BOD； ② ∠AOD= ∠AOB； ③ ∠BOD= ∠AOB； ④ ∠AOB=2∠AOD； ⑤ ∠AOB=2∠BOD. Administrator (A) - 设计逻辑： 通过判定方法的介绍，帮助学生掌握如何判断一条射线是否为角平分线，提高学生的逻辑推理能力。 教学提示： 在讲解判定方法时，可以设计一些判断练习，让学生通过实践来掌握判定技巧。 类似地，还有角的三等分线等. 应用格式： O B A C 因为 OB，OC 是∠AOD 的三等分线， 所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD， ∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD. D 例2 射线 OC 在∠AOB的内部，下列给出的条件不能 得出 OC 是∠AOB的平分线的是( ) A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOC+∠BOC=∠AOB C. ∠AOB=2∠AOC D. ∠BOC= ∠AOB B C B A 例题讲解 判断角的平分线的方法 射线是否在角的内部 是否将角平分 是角的平分线 是 否 是 否 不是角的平分线 (2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，则 ∠AOC= °． (1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则 ∠AOB= °． 75 20 A B O C A B O C 图① 图② 计算下列角的度数. 活动三 通过两道题让学生体会到一个角可以表示成其他角的和或者差。并能对角的和与差进行简单计算。 dell (d) - 本页设计让学生体会到一个角可以表示成其他角的和或者差，并能对角德和与差进行简单计算，体会两角和与差的几何意义与代数意义的综合. Administrator (A) - 设计逻辑： 通过计算角的度数的活动，让学生应用角的和与差的概念进行计算，巩固学生的计算能力。 教学提示： 在活动三中，可以让学生先独立计算，然后小组交流计算方法和结果，教师最后进行点评和总结。 (3) 若∠AOB =60°，∠AOC =30°，则∠BOC= °． 90或30 O B A C C 提示：无图条件下要分情况讨论. 培养学生根据几何语言画出正确图形的能力，培养学生细致严谨的思维习惯。体会数形结合思想；分情况画出2种图形，体现分类讨论数学思想。 例3 已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"， 求∠1+∠2 和∠1－∠2的度数. 解： ∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" . 103°24′ 28" ＋30° 54" 133°24′ 82" (82" ＝ 1′22") 所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" . 例题讲解 角的度、分、秒也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确角的度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.加减都是相同单位间各自进行,最后进位. Administrator (A) - 设计逻辑： 通过具体的计算示例，展示角的度数计算过程，让学生掌握度数计算的方法和注意事项。 教学提示： 在指导学生进行度数计算时，要强调60进制的概念，确保学生能够正确进行度、分、秒的换算。 ∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" -30°54" . 103°24′ 28" －30° 54" 73°23′ 34" (24′28"＝ 23′88") 所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" . 进行角的度数的计算时，注意是60进制. 涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60. 1.如图，下列各式中错误的是（　　） A.∠AOC=∠AOB+∠BOC B.∠AOC=∠AOD-∠COD C.∠AOC=∠AOB+∠BOD-∠BOC D.∠AOC=∠AOD-∠BOD+∠BOC C 随堂演练 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过选择题的形式，检验学生对角的和与差以及角平分线概念的理解，帮助学生识别和纠正错误概念。 教学提示： 在处理选择题时，可以让学生先独立完成，然后进行小组讨论，最后教师给出正确答案和解析，帮助学生理解每个选项的正确性。 2.如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( ) A O A B C D 3.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) A．50° B．60° C．140° D．150° C 19 4．如图，把一张长方形的纸条折叠后，折痕OE是∠BOB′的 ． 5．如图，OC是∠AOB内的一条射线． (1)∠AOB＝∠BOC＋ ，∠AOC＝ －∠BOC. (2)若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝____． 平分线 ∠AOC ∠AOB 10° （1） 120°-38°41′； （2）67°31′+48°49′. 解：原式 = 119°60′-38°41′ = 81°19′ . 解：原式 = (67+48)°+(31+49)′ = 115°97′ = 116°37′ . 6.计算: Administrator (A) - 设计逻辑： 通过计算题的练习，让学生进一步掌握角的和与差以及角平分线的计算方法，提高学生的计算技巧。 教学提示： 在指导学生完成计算题时，要确保学生理解每一步的计算依据，鼓励学生探索不同的解题方法。 7.如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线. (1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？ 解：因为 OB 平分∠AOC， ∠AOC=80°， O A B C D E 所以∠BOC= ∠AOC = ×80° =40°. (2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？ 解：因为 OB 平分∠AOC， 所以 ∠BOC=∠AOB = 40°. 因为 OD 平分∠COE， 所以∠COD=∠DOE = 30°， 所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°. O A B C D E (3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？ 解：因为 ∠COD=30°，OD 平分∠COE， 所以 ∠COE=2∠COD=60°， 所以 ∠AOC=∠AOE-∠COE =140°-60°= 80°. 又因为 OB 平分∠AOC， O A B C D E 所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°. 8.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线． (1)求∠MON的大小； (2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗，为什么？ 角的和与差 角的和与差 如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫做另两个角的和． 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差． 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫做这个角的平分线. 角的平分线 角的计算 课堂小结 Administrator (A) - 设计逻辑： 通过课堂小结，帮助学生回顾本节课的重点内容，巩固学生对角的和与差以及角平分线的理解。 教学提示： 在课堂小结时，可以让学生参与到总结过程中，例如让学生自己列举本节课学到的知识点，以提高学生的参与度和记忆效果。 解：(1)∠MON＝∠MOC－∠CON＝eq \f(1,2)(∠BOC－∠AOC)＝eq \f(1,2)∠AOB＝45° (2)当∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不会发生改变．理由同(1) $