2.7 角的和与差（第二课时）课件2025-2026学年冀教版数学七年级上册

第二章 几何图形的初步认识 2.7 第2课时 互余、互补及其性质 角的比较 度量法 叠合法 角平分线 角的运算 角的和差关系 角的比较与运算 知识回顾 复习 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过复习角的比较和运算,为学生学习互余和互补的概念打下基础,帮助学生构建完整的知识体系。 教学提示: 在复习阶段,可以通过提问或小测试的方式检查学生对旧知识的掌握情况,确保学生能够顺利过渡到新课学习。 O A B 要测量两堵墙所成的角AOB的度数,但人不能进入围墙,如何测量? 建筑工人的难题 你能帮他解决这个问题吗? 情景导入 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过建筑工人的难题情景,激发学生对新知识的好奇心,让学生意识到数学知识在实际生活中的应用价值。 教学提示: 在情景导入时,可以让学生思考并提出可能的解决方案,鼓励学生主动参与课堂,培养解决问题的能力。 两个角的和等于90 (直角),就说这两个角互为余角,简称互余。 如果∠1+∠2=90 ,那么∠1与∠2互为余角。 1 2 几何语言: ∵∠1+∠2=900 ∴∠1与∠2互余 反过来,如果∠1与∠2互为余角,那么∠1+∠2=90 几何语言: ∴∠1+∠2=900 ∵∠1与∠2互余 获取新知 一起探究 dell (d) - 本设计明确互余概念中的两个关键词(1)两个角;(2)和为90度.让学生体会两角互余的概念,学会几何语言,为以后的推理做准备. Administrator (A) - 设计逻辑: 通过定义互余的概念,引导学生理解两个角和为90 时的数学关系,培养学生对角的度量和关系的敏感性。 教学提示: 在讲解互余概念时,可以结合图形和实例,帮助学生形成直观的认识,同时鼓励学生思考互余角在实际中的应用。 图中给出的各角,哪些互为余角? 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 练一练 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过实际的图形和角度,让学生识别互为余角的角对,加深学生对互余概念的理解和记忆。 教学提示: 在此环节,可以让学生先独立完成,然后进行小组讨论,最后教师点评,确保学生能够正确识别互为余角的角对。 画出∠COB的余角 C O B A D 画一画 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过动手画图,让学生实践如何构造一个角的余角,培养学生的作图能力和空间想象能力。 教学提示: 在画图活动中,要指导学生使用正确的作图工具和方法,鼓励学生通过作图来加深对余角概念的理解。 (2)量一量: 用量角器量一下这两角的度数; 根据图形: (1)猜一猜: ∠1 与∠2相等吗? ∠1与∠COB互余, ∠ 2与∠COB互余 C O B A D (3)议一议:把结论归纳一下: (4)试一试:你还能用什么方法来说明这个结论? 相等 同角的余角相等。 1 2 获取新知 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过具体的例子和图形,引导学生发现同角的余角相等的性质,培养学生的观察和归纳能力。 教学提示: 在此环节,可以让学生先进行猜测,然后通过量角器进行验证,最后引导学生归纳结论,加深对性质的理解。 解: ∠1与∠2相等,理由如下: ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 ∠2+ ∠BOC = 90 ∴ ∠1 = 90 - ∠BOC ∠2 = 90 - ∠BOC ∴ ∠1 = ∠2 如图,∠1与∠COB互余, ∠ 2与∠COB互余 则∠1与∠2相等吗? A O B D C 1 2 同角的 余角相等 如图,∠1与∠2互余,∠3与∠4互余, 如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗?为什么? 1 2 3 4 解: ∠2与∠4相等,理由如下: ∵ ∠1﹢∠2 = 90 , ∠3﹢∠4 = 90 ∴ ∠2 = 90 ∠1, ∠4 = 90 ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4 等角的余角相等 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过图形和逻辑推理,让学生理解等角的余角相等的性质,培养学生的逻辑推理能力。 教学提示: 在讲解等角的余角相等时,要强调逻辑推理的重要性,鼓励学生通过已知条件推导出未知结论。 获取新知 两个角的和等于180 (平角), 就说这两个角互为补角,简称互补。 如果∠1+∠2=180 ,那么∠1与∠2互为补角。 1 2 几何语言: ∵∠1+∠2=1800 ∴∠1与∠2互补 思考:如何画一个已知∠BOC的补角? B O C 让学生明确邻补角数量关系和位置关系,从而得出两角互补的概念,体会邻补角与两角互补之间的不同. Administrator (A) - 设计逻辑: 通过定义互补的概念,帮助学生理解两个角和为180 时的数学关系,为后续的角的计算和应用打下基础。 教学提示: 在讲解互补概念时,可以结合实际例子,如钟表上的时针和分针,帮助学生形成直观的认识。 图中给出的各角,哪些互为补角? 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 如图,∠1与∠BOC 的补角, ∠2是∠BOC 的补角。 那么∠1与∠2相等吗? 解: ∠1与∠2相等,理由如下: ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ∠2+ ∠BOC = 180 ∴ ∠1=180 - ∠BOC ∠2= 180 -∠BOC ∴ ∠1 = ∠2 A O B D C 1 2 同角的补角相等 一起探究 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过具体的例子,引导学生发现同角的补角相等的性质,加深学生对互补概念的理解和应用。 教学提示: 在此环节,可以让学生先独立思考,然后进行小组讨论,最后教师总结,确保学生能够正确理解同角的补角相等的性质。 如图,∠1与∠2互补,∠3与∠4互补, 如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相等吗?为什么? 解: ∠2与∠4相等,理由如下: ∵ ∠1﹢∠2 = 180 ,∠3﹢∠4 = 180 ∴ ∠2 = 180 ∠1, ∠4 = 180 ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4 等角的补角相等 1 2 4 3 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过图形和逻辑推理,让学生理解等角的补角相等的性质,培养学生的逻辑推理和数学思维能力。 教学提示: 在讲解等角的补角相等时,要强调逻辑推理的过程,鼓励学生通过已知条件进行推导。 例1 如图,点A,O,B在同一直线上,射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,图中哪些角互为余角? 解:因为点A,O,B在同一直线上, 所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角. O A B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC, 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90 . 所以∠COD和∠COE互为余角 同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角. 例题讲解 14 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过具体的例题,让学生应用互余和互补的概念解决问题,加深对概念的理解和应用。 教学提示: 在讲解例题时,要引导学生一步一步分析问题,展示解题过程,让学生明白如何将理论知识应用到实际问题中。 例题讲解 例2 如图①,直线AB与∠COD的两边OC,OD分别相交于点E, F,∠1+∠2=180 .找出图中与∠2相等的角,并说明理由. 导引:已知∠1+∠2=180 ,说明∠2是∠1的补角.根据同角(或等角)的补角相等,找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角 的补角,便可确定与∠2相等的角. Administrator (A) - 设计逻辑: 通过例题,让学生进一步理解和应用同角或等角的补角相等的性质,提高学生的解题技巧。 教学提示: 在处理例题时,可以让学生先尝试自己解决,然后教师提供指导,帮助学生掌握解题策略。 解:如图②,因为∠1+∠3=180 ,∠1+∠2=180 , 所以∠3=∠2. 因为∠1+∠4=180 ,∠1+∠2=180 , 所以∠4=∠2. 因为∠2+∠5=180 , ∠6+∠5=180 , 所以∠2=∠6. 所以图中与∠2相等的角 有∠3,∠4,∠6. 随堂演练 1.一个角的余角是它的2倍,这个角的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.75 A Administrator (A) - 设计逻辑: 通过选择题的形式,检验学生对互余和互补概念的理解,帮助学生识别和纠正错误概念。 教学提示: 在处理选择题时,可以让学生先独立完成,然后进行小组讨论,最后教师给出正确答案和解析,帮助学生理解每个选项的正确性。 2.下列说法正确的是( ) A.一个角的补角一定大于它本身 B.一个角的余角一定小于它本身 C.一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D.一个角的余角一定小于其补角 D 3. 如图,直线AB,CD交于点O,因为∠1+∠3=180 ,∠2+∠3=180 ,所以∠1=∠2的依据是( ) A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 C 4.如图,若∠AOB,∠COD都与∠BOC互余,则图中互补的角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 B 5. ∠1 与 ∠2 互余,∠1 = (6x + 8) ,∠2 = (4x-8) , 则∠1= ,∠2= . 62 28 6. 如图,D是直线EF上一点,∠CDE=90 ,∠1=∠2,哪些角互为余角?哪些角互为补角? 解:∠1与∠ADC,∠1与∠BDC,∠2与∠BDC,∠2与∠ADC互为余角; ∠1与∠ADF,∠2与∠ADF,∠2与∠BDE,∠1与∠BDE,∠EDC与∠FDC互为补角. Administrator (A) - 设计逻辑: 通过计算题的练习,让学生进一步掌握互余和互补角的计算方法,提高学生的计算技巧。 教学提示: 在指导学生完成计算题时,要确保学生理解每一步的计算依据,鼓励学生探索不同的解题方法。 7.如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90 . (1)∠AOD的余角是_,∠COD的余角是_; (2 )OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由. ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 解:OE平分∠BOC 理由如下:∵∠DOE=90 ,∴∠AOD+∠BOE=90 , ∴∠COD+∠COE=90 , ∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE, ∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD, ∴∠COE=∠BOE,∴OE平分∠BOC. 8.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=90 ,且∠AOB=40 ,求∠COD的度数. 解:因为∠AOC=∠BOD=90 , 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90 , 所以∠AOB,∠COD都是∠BOC的余角, 所以∠AOB=∠COD. 因为∠AOB=40 ,所以∠COD=40 . 课堂小结 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 Administrator (A) - 设计逻辑: 通过课堂小结,帮助学生回顾本节课的重点内容,巩固学生对互余和互补概念的理解。 教学提示: 在课堂小结时,可以让学生参与到总结过程中,例如让学生自己列举本节课学到的知识点,以提高学生的参与度和记忆效果。 $