第2章 一元二次方程 单元综合能力达标练习　2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第2章   一元二次方程   单元综合能力达标练习

 

一．选择题

1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x

2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（　　）

A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2

3．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 

B．钝角三角形 

C．直角三角形 

D．直角三角形或钝角三角形

4．已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2﹣b+1，c＝﹣a2+5a﹣4，那么a，b，c中最大的数为（　　）

A．a B．b C．c D．不能确定

5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6

6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 

C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝133

7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（　　）

A．（x+4）2+（x+2）2＝x2 

B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 

C．（x﹣4）2+（x+2）2＝x2 

D．（x+4）2+（x﹣2）2＝x2

8．关于x的一元二次方程（x﹣m）2＝9的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3且x1＞x2，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．6 D．9

9．关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≠±1 B．k＜1 C．﹣1＜k＜1 D．k＜﹣1

10．若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论：

①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则．

②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解．

③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解．

④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根．

上述结论正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题

11．关于x的一元二次方程（x﹣2）2﹣16＝0的解是　             　 ．

12．关于x的方程2x2﹣4x+（m﹣1）＝0有实数根，则m的取值范围是　      　 ．

13．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的根的情况，小明的回答是：原方程有 　   　 个实数根．

14．△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，c＝5，则△ABC的形状是 　        　 ．

15．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　   　 ．

16．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2026﹣m2+m的值是　       　 ．

三．解答题

17．解方程

（1）x2+4x+3＝0；

（2）3x2﹣5x﹣8＝0．

 

 

18．已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；

（2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值．

 

 

19．2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元．

（1）降价后每件T恤衫的利润为　         　 （元），平均每天可售出　          　 件（用含x的代数式表示）；

（2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？

 

 

 

20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，如图所示．

（1）若设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为 　         　 m2（用含x的代数式表示，要求结果最简）；

（2）如果剩余空地面积为12m2，求正方形的边长x的值．

 

 

 

 

21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．

解决问题：

（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　           　 ；