2.2圆的对称性(2)导学案 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性(2) 【学习目标】 1. 探索并证明垂径定理； 2. 运用垂径定理解决问题，了解圆中一种常见辅助线做法. 【学习过程】 活 动 1圆的对称轴是什么?利用圆形纸片操作验证.. 追问对于圆的轴对称性，能尝试证明它吗? 活动2在上面图形中，对于与圆的相关元素，你还有哪些发现?并尝试证明. 数学认识： 追问下图中各种情形，能得出什么结论?为什么? 例1如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C、D. 求证AC=BD. 例2求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 课时练习 1. 如图，在△OAB中，OA=OB, 以点0为圆心的00与AB交于点C 、D. 求证AC=BD. *2.如图，在⊙O 中，根据垂径定理我们知道，如果AB 是直径，且AB⊥CD, 垂足为P, 则PC=PD,BC=BD,AC=AD. (1)反过来，如果AB 是直径，且PC=PD, 那么AB⊥C D,BC=BD,AC=AD 吗? (2)类似地，你还能写出哪些命题?它们都成立吗? 学科网（北京）股份有限公司 课后练习 1.填空题： (1)如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M, 添加一个条件： (写出 一 个即可),就可得到M 是AB 的中点 . (2)在直径为20cm的圆中，圆心到某条弦的距离是6cm, 该弦长是_ _cm. 2.选择题： (1)圆是轴对称图形，它的对称轴有( ). A.1 条 B.2 条 C.4 条 D. 无数条 (2)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大 小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：“如图， CD 为⊙O 的直径， 弦AB⊥CD, 垂足为E,CE=1寸 ，AB=10寸，求直径CD的长.”根据题意， CD 长 为 ( ). A. 寸 B.13 寸 C.25 寸 D.26 寸 3. 如图，⊙O的半径OC=6, 弦AB 垂直平分OC. 求 弦AB 的长 . 学科网（北京）股份有限公司 4.如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O, 另一边所在直线与 半圆相交于点D 、E, 量出半径OC=5cm, 弦DE=8cm.求直尺的宽. 5.如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80m, 拱高(弧的中点到弦的距离CD) 为 20m, 求桥拱所在圆的半径. 6. 老师布置的一道思考题引起了小红、明的兴趣：“已知半径为10cm的⊙O中有两条平行弦AB 、CD, 且AB =12cm,CD=16cm, 求 AB、CD 间的距离.”小红得到的结果是“两平行弦之间的距离为14cm”,小明得 到的结果是“两平行弦之间的距离为2cm”.你是如何思考的?请说明理由. 课时练习答案 1. 证明：AC=BD 证明： 过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理，OE垂直平分AB，即AE=BE。 ∵OA=OB，△OAB为等腰三角形，OE为底边AB上的高， ∴OE也为AB的中线，即AE=BE。 又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD，根据垂径定理，OE垂直平分CD，即CE=DE。 ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD。 课后练习答案 1. 填空题 （1）添加条件：CD⊥AB（或“M是AB的中点”“AM=BM”）。 （2）弦长为16 cm。 解析： 直径为20cm，则半径r=10cm，圆心到弦的距离d=6cm。 根据垂径定理，弦长==2×8=16cm。 2. 选择题 （1）D. 无数条（圆的对称轴是任意一条直径所在的直线）。 （2）D. 26寸。 解析： 设半径为r，则OE=r-1（CE=1寸），AE=5寸（AB=10寸，垂径定理得AE=5）。 在Rt△AOE中，OA²=AE²+OE²，即r²=5²+(r-1)²，解得r=13，直径CD=2r=26寸。 3. 弦AB的长为。 解析： ∵OC=6，AB垂直平分OC，∴OM=MC=3（M为AB与OC交点）。 在Rt△AOM中，OA=6，OM=3， ∴AM===， ∴AB=2AM=。 4. 直尺的宽为3 cm。 解析： 过点O作OF⊥DE于点F，连接OD。 DE=8cm，∴DF=4cm，OD=OC=5cm， ∴OF===3cm，即直尺的宽为3cm。 5. 桥拱所在圆的半径为50 m。 解析： 设半径为r，CD=20m，AB=80m，∴AD=40m，OD=r-20。 在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即r²=40²+(r-20)²，解得r=50m。 6. 两平行弦之间的距离为14 cm或2 cm。 解析： 分两种情况： ① 两弦在圆心同侧： 距离=-=8-6=2cm； ② 两弦在圆心异侧： 距离=+=8+6=14cm。 结论：小红和小明的结果均成立，两平行弦之间的距离为14cm或2cm。 课时练习2（拓展） （1）成立。若AB是直径且PC=PD，则AB⊥CD，BC=BD，AC=AD（垂径定理的逆定理）。 （2）其他命题（均成立）： 若AB是直径，且AC=AD，则AB⊥CD，PC=PD，BC=BD； 若AB⊥CD且PC=PD，则AB是直径，AC=AD，BC=BD。 $