精品解析：广东省深圳市哈工大（深圳）实验学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

八年级数学暑假作业完成情况检测 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各运算中，计算正确的是（　　） A. a2+2a2＝3a4 B. b10÷b2＝b5 C. （m+n）2＝m2+n2 D. （﹣2x2）3＝﹣8x6 2. 掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A. 朝上的数字小于7 B. 朝上的数字是奇数 C. 朝上的数字是6 D. 朝上的数字大于3 3. 如图,OC平分∠AOB,CM⊥OB于点M,CM=3,则点C到射线OA的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 是的算术平方根 5. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 6. 将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架长的梯子靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端下滑至处，那么梯子底端将滑动（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 10. 已知，， 则的值为 ___________ 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 12. 如图，已知在四边形内，，，，，则_____． 13. 在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：[（3）（4）用简便方法计算] （1）； （2）； （3） （4）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 （1）上表中的___________，___________（小数形式）： （2）“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） （3）若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 17. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． （1）求城镇之间的距离； （2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 19. 甲、乙两工程队分别从两地相向修建两地之间的道路．已知甲队先施工2天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工．因考虑到工期，甲队以原来速度的2倍修建，乙队完成紧急任务后以原速恢复施工，直到道路修通．甲、乙两队各自修路的长度与时间之间的关系如图所示．请结合图中信息解下列问题： （1）在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？ （2）求乙队中途暂停施工的天数； （3）求乙队恢复施工几天后，甲队比乙队多修路384米． 20. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ （4）如图4，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学暑假作业完成情况检测 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各运算中，计算正确的是（　　） A. a2+2a2＝3a4 B. b10÷b2＝b5 C. （m+n）2＝m2+n2 D. （﹣2x2）3＝﹣8x6 【答案】D 【解析】 【分析】依据合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方的运算法则可进行判断． 【详解】解：A．根据合并同类项的法则可知a2+2a2＝3a2，不符合题意； B．根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减“的运算法则可知，不符合题意； C．根据完全平方公式可得，不符合题意； D．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘“，可得，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方的运算法则，熟记运算法则是解题关键． 2. 掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A. 朝上的数字小于7 B. 朝上的数字是奇数 C. 朝上的数字是6 D. 朝上的数字大于3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可解答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字小于7是必然事件，即确定事件，故A符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是奇数是随机事件，故B不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是6是随机事件，故C不符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字大于3是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 3. 如图,OC平分∠AOB,CM⊥OB于点M,CM=3,则点C到射线OA的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过C作CF⊥AO，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案． 【详解】过C作CF⊥AO． ∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF． ∵CM=3，∴CF=3． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 是的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义和性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； B. 的立方根是，故该选项正确，符合题意； C. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图像的问题，充分理解两个量之间的函数关系是解题关键．先理解函数图像的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图像，即可作答． 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系； ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系． 故选：A． 6. 将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点，先利用平角定义可得，从而可得，即可判断A；利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可判断B；利用三角形的外角性质可得，即可判断C；利用平角定义可得，从而可得，即可判断D． 【详解】延长交于点， ， ， ， ∴， 故A不符合题意； ∵， ， 是的一个外角， ， ， 故B不符合题意； 是的一个外角， ， 故C不符合题意； ，， ， ， 故D符合题意； 故选：D． 7. 如图，一架长的梯子靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端下滑至处，那么梯子底端将滑动（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求出的长，由此可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，由此可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴（米）， ∵梯子的顶端下滑至处， ∴，则，， ∴在中，， ∴（米）， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 8. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：石子落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每个正方形的面积都为，总面积为，其中阴影部分面积为， 石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 10. 已知，， 则的值为 ___________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，已知在四边形内，，，，，则_____． 【答案】##18度 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到，使得，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】在中，通过解直角三角形可得出，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 则：， 沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形， 设该直线与边交于点P．以下有三种情况： ①当时， ∴ ②当时， ③当且点P在边上时，过点B作，垂足为D． ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述：等腰三角形的面积可能为或或， 故答案为：或或 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：[（3）（4）用简便方法计算] （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则即可求解； （2）利用多项式除以单项式的运算法则即可求解； （3）将原式化为即可求解； （4）将原式化为即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 ． 16. 一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 （1）上表中的___________，___________（小数形式）： （2）“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） （3）若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】（1）78； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； 【小问3详解】 解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为， 答：摸到黑球的概率为． 17. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 18. 如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． （1）求城镇之间的距离； （2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】（1）13千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； 【小问2详解】 解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 19. 甲、乙两工程队分别从两地相向修建两地之间的道路．已知甲队先施工2天，乙队才开始施工，乙队施工几天后因另有紧急任务暂停施工．因考虑到工期，甲队以原来速度的2倍修建，乙队完成紧急任务后以原速恢复施工，直到道路修通．甲、乙两队各自修路的长度与时间之间的关系如图所示．请结合图中信息解下列问题： （1）在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路多少米？ （2）求乙队中途暂停施工的天数； （3）求乙队恢复施工几天后，甲队比乙队多修路384米． 【答案】（1）96米 （2）2天 （3）2天 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，数形结合看懂每段线段所代表的修路进度是解决本题的关键． （1）根据图像求出甲队在提速前每天修道路的米数即可； （2）根据图像得出乙队的修路速度，进而解答即可； （3）设乙队恢复施工x天后，甲队比乙队多修路384米，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知：在施工的过程中，甲队在提速前每天修道路： （米）； 【小问2详解】 解：根据题意，乙队的速度为（米/天）， 乙队中途暂停施工的天数为： （天）； 【小问3详解】 解：设乙队恢复施工x天后，甲队比乙队多修路384米，根据题意得： ， 解得：， 答：乙队恢复施工天后，甲队比乙队多修路384米． 20. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ （4）如图4，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【答案】（1）①；②； （2）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ； （3）或； （4） 【解析】 【分析】（1）①求出，得； ②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得； （4）， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得． 【详解】（1）解：①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ， 故答案为：． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． 故答案为：． （2） 略 （3）设， 则，， ∴， ∴， 情况1：， ∴， 解得． ∴，， ∴． 情况2：， ∴， 解得， ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （4）∵ ∴， 在 上截 ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了对顶三角形，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $