浙江省永嘉中学2025-2026学年高三上学期九月教学质量检测数学试题

永嘉中学2023级九月数学教学质量检测答案 选择题（本题共11小题，共计58分）填空题（本题共3小题，共计15分） 平均：42.76+8.95 最高：70/73 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B C A C A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 BC BD ABD 0.16 / 解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题一题15分，18,19题一题17分，共计77 分） 15.（1）5分 过点A作垂直于平面的截面，可知当底面与平面所成的角与底面过点对角线所成的角相等时，顶点到平面的距离的最大，为.（亦可通过最大角定理，三正弦定理证明）·········5分 （2）8分 建立如图所示的空间直角坐标系，设平面 的一个法向量为 ，设连结则四面体为直角四面体；作平面的法线作 于 于 于连结 ，令 由体积相等可得 令 可得设，解得； ······9分 设的法向量 由得，∴，设平面的法向量为，故平面与平面所成锐二面角余弦值 ······13分 （亦可通过不同位置建立坐标系，几何法构造二面角快速解答；本题所给解法巧妙，但稍显繁琐） 16.（1）6分 若是直角三角形，分三种情况讨论： ①若，， 整理得，无解；·········2分 ②若，，，，满足条件；·········4分 ③若，，，整理得，， ，无解，·········5分 故，又，，即，满足条件；·········6分 或 。 （2）9分 仅条件Ⅰ符合题意，理由如下：·········8分 Ⅰ.Ⅱ.对给定的，，若满足的恰好有2个，则为锐角，且解出需有两解，分别为一个锐角和一个钝角. 设的锐角解为，则钝角解为，要使存在，需满足解得，所以，即，·········11分 解得，即，Ⅰ符合题意。 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①若，，，又，，即，满足条件；·········12分 ②若，，，，，整理得，设，又，，则在上有零点，即存在使成立，满足条件；·········14分 ③若，，，， ，整理得，设，，，即存在使成立，满足条件； 又当时，不满足条件。·········15分（可根据②简化步骤） 故满足题意的至少有三个。 （若考生第二问通过解三角形确定条件Ⅰ中三角形，或简要论证条件Ⅱ和结果三角形无法满足题意，亦可给满分） 17.（1）3分 ，．·········3分（前者给1分，后者给2分，算式不要求） 表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出最后一个编号的球 （2）6分 依题意可得：，则， ，设 ，，作差得，所以，···7分 故 ；·········9分 （若考生通过裂项相消等数列求和方式进行化简或者有求和意识，可酌情给分） （3）6分 设随机变量表示恰好记录了个不同的编号下，继续摸球直到记录到第个新的编号所需要的摸球次数，则 ，其中，则， ，·········10分 设 ， 作差得：， 所以 ，·········11分 所以 ，即，·········12分 令，当时，，在单调递增，所以，即，·········14分 所以，．·········15分 （若考生通过裂项或放缩等方式对证明对象进行化简，可酌情给分） 18.（1）3分 ：，因为点在C上，所以 ①， 又因为双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分，所以渐近线与x轴的交角为 ②， 由①②解得，故双曲线的方程为．·········3分（其中①②一条1分） （2）（i）7分 设直线的方程为，联立可得，， 有韦达定理得，，且，得，·········5分 因为直线的斜率的等差中项，，代入，得， 整理可得，，·········7分 当时，直线为，此时直线过焦点，不合题意，，即，，代入化简可得，，解得或， 又，令可得，·········9分 ， 在上均单调递减，．·········10分 （ii）7分 由题意，点A与点P关于原点对称．由双曲线的对称性，设，则． 可知直线m斜率存在，设直线m斜率为k，记，又m为的平分线，则． ，，，···12分 同理，·········12分 又，，代入，得， 化简得．·········14分 又，，所以，将代入，，得，， ，，． 设直线m的方程为，将代入得，·········15分 直线m的方程为，，由点到直线距离公式得， 直线的斜率为，设直线的方程为，将代入得， 直线的方程为， 将其与联立得，·········16分 设，，则，，由得， ．由基本不等式，，当且仅当时，等号成立。·········17分 ，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．（猜出答案给2分） （本题解法多元但计算量较大，若考生有一定思路并给出或化简重要变量的表达式，可酌情给分） 19.（1）（i）4分 由题意知，，则，所以曲线在点处的切线方程分别为，·········2分 因为切线均过原点，所以，即，得；·········4分 （ii）5分 由（1）（i）得，画出函数与图象，如图，·········6分 如图，设，知 ，由正切函数图象性质，得，即，又，所以，·········8分 即，解得，即； ·········9分 （2）（i）6分 ，于是令，所以，·········10分 即在上单调递减，在上单调递增.又，，所以在上有唯一零点且为的极大值点， 又，所以在上有唯一的零点且位于，易知此零点为函数的极小值点.所以，； ·········12分 令，又，即，令， 则 ，所以，又因为，所以在上单调递减，于是. 所以是单调递增数列； ·········15分 （ii）2分 显然的极小值中最小的值为的最小值，又 ，又，所以，所以. ·········17分 解题思维快闪（学生）： 第5题：解方程？绘制图像估计交点！ 第6题：关注函数图像对称性！ 第7题：阿氏圆转换线段长！特殊点！ 第9题：使用维恩图表示已知量。 第12题： 第13题：f(x)=。 第14题：变式，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)=。 数学测试答案 第 页 共5页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 永嘉中学2023级九月数学教学质量检测试题 选题：金珏欢 邹策 考试时间：9月13日14:00-16：00 考生注意： 1.本科目试卷共1张，4页,19道小题。满分150分，考试时间120分钟。答题前，请务必检查试题卷与答题卷印刷情况，并将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷，草稿纸上作答一律无效。同时考生请注意端正考试行为，把握考试时间，预祝考试顺利。 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，每题有且仅有一个正确选项符合题意 1.已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为 A.3 B.6 C.9 D.12 2.已知集合 }, },则集合C = 中元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.依据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型可得到经验回归模型，对应残差如图所示，可判断该模型误差 A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．仅满足一元线性回归模型的的假设 C．仅满足一元线性回归模型的的假设 D．不满足一元线性回归模型的，的假设第3题图 4.点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为 A． B． C． D． 5.已知角满足，则角所在的区间可能是 A． B． C． D． 6.在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于A、B，直线（不同于）与、分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是 A． B． C． D． 7.在平面直角坐标系中，存在圆，点A和点B，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是 A.|MA|-|MB|的最大值为 B.|MA|+|MB|的最大值为 C.|MA|-|MB|的最大值为 D.|MA|+|MB|的最大值为 8.已知函数，记函数的反函数为，设函数的极值点个数为c ;当时，，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，每题至少有一个正确选项符合题意 9.随机事件A，B满足, 其中分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是 A. = B.= C.事件A与B不独立 D. 10. 在平面直角坐标系中，曲线，试判断下列说法中正确的是 A. 曲线与直线：没有交点 B. 存在垂直于x轴的直线与曲线没有交点 C. 曲线与直线：0 有两个交点 D. 曲线与圆： 有三个交点 11.已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（和）组成的三角形，如下图所示，其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是 第11题图 A．在线段上存在一定点，使得平面 B．存在某个位置，使得直线平面 C．存在某个位置，使得直线与所成角为 D．对于任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12.已知抛物线：焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则点的轨迹是 的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）. 13.已知函数的定义域为，对任意，有且． 若f(1)=1，则f(49)= . 14. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)= ． 四．解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题一题15分，18,19题一题17分，共计77 分 15．如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱,,都在平面的同侧. （1）若平面与平面所成的二面角为，求顶点到平面的距离的最大值； （2）若顶点,到平面的距离分别为,，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第15题图 16.已知满足三个条件： ①， ②， ③________________. （1）若条件③是“是直角三角形”，求A； （2）从下列选项中选择一个作为条件③，使满足条件的恰好有2个，并说明你的选择理由。 Ⅰ. Ⅱ. 是等腰三角形 17.在一个不透明的口袋中装有大小、形状都完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，取遍所有标号的小球后停止摸球．记总摸球次数为，其期望为． （1）求与； （2）求； （3）求证：． 附：若随机变量，则；若随机变量的可能取值为， 则． 18.平面直角坐标系中，点在以，为左，右焦点的双曲线：上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若不过的直线l与交于不同的两点； （i）设l的斜率为，若为直线斜率的等差中项，求到l的距离的取值范围； （ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求的最大值． 第18题图 19.已知函数，. （1）设，曲线y=在点（）处切线均经过坐标原点。 （i）求 ; （ii）求证：; （2）将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，，首项记为. （i）求证：，是单调递增数列； （ii）求的最小值. 高三数学测试 第 页 共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $