湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高三上学期月考试卷（二）数学试题

雅礼中学2026届高三月考试卷（二） 数 学 命题人：张新民 审题人：张鎏 得分： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量 120分钟，满分150分. 别 第I卷 圜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 如 1.已知集合M={xy=√x-1},N={x-1≤x≤2}，则MUN= A.(-1,2] B.[-1,-2] 阳 C.(-1,-2) D.[-1,+∞) 製 2.“a=b且a∥b”是“a=b”的 A.充分不必要条件 区 B.必要不充分条件 C.充要条件 郑 D.既不充分也不必要条件 3.设m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面.下列命题正确 舒 的是 细 A若a⊥Y,B⊥Y,则aB B.若m∥a,a∥B,则m∥g C.若a∥B,m⊥a,n⊥B,则m∥n D.若m⊥n,n∥a,则mLa 4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大 小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，a,b,c分别对应这 组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是 A.b<c<a B.b<a<c C.a<b< D.c<a<b 数学试题（雅礼版）第1页（共8页） 5.已知i是虚数单位，复数之满足引x一i=1,则z一√3的最小值为 A.3-1 B.1 C.5+1 D.3 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,b2+c2-a2=bc,若 BC边上的中线AD=√7，则△ABC的外接圆面积是 A.4π B.8π C.12π D.16π 7.如图所示，曲线C是由半椭圆C:着+号-1(y<0),半圆C:(-1D2 +y2=1(y≥0)和半圆C3:(x+1)2+y2=1(y≥0)组成，过C1的左焦点 F作直线1与曲线C仅交于A,B两点，过C1的右焦点F2作直线2 与曲线C仅交于M,N两点，且Z∥2，则AB|+|MN的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 8设x是关于x的方程x+log+1x=心+3n的正实数根记a,-[登]， 其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列{an}的前n项和为Sm,则 S2025= A.10122 B.1012×1013 C.10132 D.1013×1014 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.下列说法中，正确的是 A.回归直线y=x十a可以不经过样本中心 B.可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量 的相关程度越强 C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确 度越高 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=4.712,根据小 概率值a=0.05的X独立性检验(x0.s=3.841),可判断X与Y有 关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 数学试题（雅礼版）第2页（共8页） 10.一个袋子中装有N(N=5n,n∈N*)个除颜色外完全相同的小球，其中 黄球占比40%.现从袋子中随机摸出3个球，用X,Y分别表示采用不 放回和有放回摸球方式取出的黄球个数.则 A.E(X)=E(Y) B若N=20,则PX=2)- C若N=20,则PY=2)=贵 D.YN=5n,nEN*,P(X=2)>P(Y=2) 11.已知函数f(x)=a(e十a)一x有两个零点x1,x2,则下列说法正确 的是 A.不存在负数a满足条件 Ba的值可以取号 C.a的值可以取2 D.x1一x2的值关于a单调递减 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有 13.已知双曲线C兰-蒂=1(a>0,6>0)的上、下焦点分别为，R,P 是双曲线C的上支上的任意一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点 A,△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B,若|AB>2b,则双曲线 C的离心率的取值范围是 1, x>0, 14.已知f(x)= 0, x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若 -1,x<0, f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a十b+cl的取值范围是 数学试题（雅礼版）第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤， 15.(本题满分13分) 已知函数f(x)=sin(wz十p)(w>0,p<)的图象关于点 (一否，0)中心对称，且图象上相邻两条对称轴的距离为受 (1)求函数f(x)的解析式； (2)设1x2∈(-石，），且≠x,若f()=f(x),求f(x十x) 的值. 数学试题（雅礼版）第4页（共8页） 16.(本题满分15分) 已知抛物线E:y-2x(p>0)与双曲线号一首-1的渐近线在第一象 限的交点为Q,且Q点的横坐标为6. (1)求抛物线E的方程； (2)过点M(一3,0)的直线L与抛物线E相交于A,B两，点，点B关于x 轴的对称点为B,证明：直线AB必过定点. 数学试题（雅礼版）第5页（共8页） 17.(本题满分15分) 在四棱锥P-ABCD中，ABLAD,AB∥DC,AD-DC-AB=2,PC =2√2，E,F分别为直线DC,DP上的动点. (1)若异面直线AD与PC所成的角为45°，判断PB与AD是否具有 垂直关系并说明理由； (2)若PB=PA=2√2，EF∥PC,求直线AC与平面BEF所成角的最 大值. 数学试题（雅礼版）第6页（共8页） 18.(本题满分17分) 已知函数f(x)=ln2产元十ax+b(x-1)月. (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若a=一2，证明：当b≥0时，f(x)>一2在区间(1,2)上恒成立. 数学试题（雅礼版）第7页（共8页） 19.(本题满分17分) 设n∈N,数对(am,bn)按如下方式生成：(ao,b)=(0,0),抛掷一枚均匀 的硬币，当硬币的正面朝上时，若am>bn,则(am+1,bn+1) (am十1，bn十1)，否则(am+1,b+1)=(am十1，bn)；当硬币的反面朝上时， 若b,>an,则(a+1,b+1)=(an十1，bn十1)，否则(an+1,bn+1)= (an,bn十1).抛掷n次硬币后，记an=bn的概率为Pm.(提示：由已知可 得an-bn≤1) (1)写出(a2,b2)的所有可能情况，并求P1,P2; (2)证明：P。}是等比数列，并求P； (3)设抛掷n次硬币后am的期望为Em,求Em: 数学试题（雅礼版）第8页（共8页）雅礼中学2026届高三月考试卷（二） 数 学 命题人：张新民 审题人：张鎏 时量：120分钟 满分：150分 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知集合M={xy=√x-I},N={x-1≤≤2}，则MUN= (D) A.(-1,2] B.[-1,-2] C.(-1,-2) D.[-1,十∞) 2.“a=b且a∥b”是“a=b”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设m,n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面.下列命题正确的是 (C) A.若a⊥Y,B⊥Y,则a∥B B.若m∥a,a∥B,则m∥g C.若a∥B,m⊥a,n⊥B,则m∥n D.若m⊥n,n∥a,则mLa 【解析】若a⊥Y,B⊥Y,则a与B相交或平行，故A错误；若m∥a,a∥B,则m∥B或mCB,故B错误； 若a∥B,mL,n⊥B,则m∥n,故C正确；若m⊥n,n∥a,则m∥a或mCa或者m与a相交，故D 错误。 4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形 态有关.在下图分布形态中，a,b,c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确 的是 (C) A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<a<b 数学试题（雅礼版）一13 【解析】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数c为右起第二个矩形下底 边的中点值，直线x一b左右两边矩形面积相等，而直线x=c左边矩形面积大于右边矩形面积，则 b<c,又数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b,即a<b,所以a<b<c 5.已知i是虚数单位，复数x满足之一=1，则x一√3的最小值为 (B) A.3-1 B.1 C.3+1 D.3 【解析】之一i=1的几何意义是复数之对应的，点Z到，点A(0,1)的距离为1， 即点Z在以点A(0,1)为圆心，1为半径的圆上，之一√3|的几何意义是点Z 到点B(W3,0)的距离.如图所示，故|之-√3|mm=|DB|=|AB|-1=2-1 =1. 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,b2十c2一a2=bc,若 BC边上的中线AD=√7，则△ABC的外接圆面积是 (A) A.4π B.8π C.12π D.16π 【解析】因为b2+c2-a2=bc,所以cosA=+c-a=1 2bc 2 又0<A<,所以A=5, 又D是BC中点，所以Aj-号（店+Ad,又AC-6=2, 所以A市=(A店+AC2=}(A+2A店·AC+AC), 即7=4(c2+2c×2×c0s+2）,解得c=4(负值舍去)， 所以a2=B+c2-2bcc0sA=2+4-2X2×4c0s3=12,则a=23, 所以2R=”25=4,即R=2 sin A si 、π 所以△ABC的外接圆面积为S=元R2=4π. 7.如图所示，曲线C是由半椭圆C:若+苦=10)，半圆C:x-1)2+-1(y≥0)和半圆G: (x+1)2+y2=1(y≥0)组成，过C1的左焦点F1作直线Z1与曲线C仅交于A,B两点，过C的 右焦点F2作直线l2与曲线C仅交于M,N两点，且U1∥12，则AB+MN的最小值为(C) A.3 B.4 C.5 D.6 数学试题（雅礼版）一14 【解析】由题意知：AB+MN=|BF|+NF2+2, :h,由对称性可知：BF,十NF为精圆香+苦=1我直线的孩长， 由题寇知斜率不为0，设：=my1,其与蔬圆苦+芳-1交于点()和(， 因为直线1,2与曲线C仅交于两，点，所以2>1，得-3<m<3. m2+1 x=my+1, 由 /+g=1得(3m十4)y十6my一9=0，则A=144(m十1)>0， 6m 9 ∴n十%=3+4%=一3m2+4 4 BF+NF2=+m·VGM十22422wC=43m+4 当m=0时，BF+NF2取得最小值4-1=3，∴.AB+MN的最小值为3+2=5. 8.设x是关于x的方程x2+log+1x=+3m的正实数根.记a:=[受]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，设数列{an}的前n项和为Sn,则S2o2s= (B) A.10122 B.1012×1013 C.10132 D.1013×1014 【解析】令f(x)=x2+log+1x”一n2一3n,则函数f(x)在(0，+∞)上为增函数， 因为f(n)=n2+logm+1n”-n2-3n=n logn+1n-3n<n-3n=-2n<0, f(n+1)=(n+1)2+logm+1(n+1)m-n2-3n=1>0, 由客点存在定理可得Kn十1，测智受<生， 、2 当n为正奇数时，设n=2k+1(∈N),则k+号<受<+1，则a,=[]=, 当n为正偶数时，设n=2k(k∈N),则<<k+,则a,=[受]=， 所以S2o25=a1十(a2十a3)+(a4十a5)十…+(a2024十a2025） =0+1×2+2×2+…+1012X2=(②+2X1012)X1012-1012X1013. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的是 (CD) A.回归直线y=x十a可以不经过样本中心 B.可以用相关系数x刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强 C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=4.712,根据小概率值α=0.05的x2独 立性检验(xo.s=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 数学试题（雅礼版）一15 【解析】回归直线y=bx十a必过样本中心，A错误；r值越大则两个变量的相关程度越强，B错误； 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，C正确；因为X= 4.712>3.841,所以可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，D正确. 10.一个袋子中装有N(N=5,n∈N*)个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%.现从袋 子中随机摸出3个球，用X,Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数.则 (ABD) A.E(X)=E(Y) B.若N=20,则P(X=2)= C若N=20,则PY=2)=号 D.YN=5n,nEN*,P(X=2)>P(Y=2) 【解析】对于A,X,Y分别服从超几何分布和二项分布，而模到黄球的概率为号，则E(X)=E(Y) 3X号-A正确； 对于BN=20,PX=2》-g=2设g一器B正确： C30 对于CN=20,PY=2)-C(得}°×1-》贺，C错误： 对于D,N=m,eN,PY=2)=P(X=2)-C=8n2-》 36 C3m5(5n-1)(5n-2)’ ,36=18「2n2-n 以 P(X=2D-PY=2)-56015n2-1255L6m-1)6m-2》25 =18. 5‘25(5n-1)(5n-2)>0,因此HN=5m,n∈N*,P(X=2)>P(Y=2),D正确. 5n-4 11.已知函数f(x)=a(e十a)一x有两个零点x1,x2,则下列说法正确的是 (ABD) A.不存在负数a满足条件 Ba的值可以取号 Ca的值可以取号 D.x1一x2的值关于a单调递减 【解析】求导得f(x)=ae一l,当a≤0时，f(x)<0恒成立，故f(x)在R上为减函数，不可能有两 个零点，故a>0,所以A正确. 令f(x)=0,得x=-lna, 当x∈(-o,-lna)时，f(x)<0;当x∈(-lna,十o∞)时，f(x)>0, 则f(x)在(-∞，-lna)上单调递减，在(-lna,十∞)上单调递增， 故f(x)的最小值为f(-lna)=a(eima+a)+lna=l十a2+lna. 对于B选项：当a=时，f-h》=1十（份}°+n子最-n4, 243=35<44=256→35X312<44×412,故317<416， 数学试题（雅礼版）一16 因为y=x品在(0，十∞)上单调递增， 则e<3<4,故名n4,则f(-n)<0, 当x→-∞时，f(x)→+∞；且x+∞时，f(x)→+∞； 故f(x)在(-o∞，ln4)及(ln4,十o)各有一个零点，故B正确； 对于C选项：当a=时，f)m=f(-ln2)=1+(2)°+ln2--n2>0, 故f(x)在R上无零，点，故C错误； 对于D,a(e十a)-x=0,即e2=工-a,1,x2可视为两函数y=e与y=工-a的交点横坐标，当 a a a增加，直线y=工一a斜率变小，同时向下平移，故x1一x2收缩变小，故D正确. a 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C C B A C B CD ABD ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有60· 【解析】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端，从5个空位置中选 出3个空位置，即C,然后3人全排列为A,所以不同的坐法共有C·A=10×6=60种. 13.已知双曲线C:兰一言-1(a>0,6>0)的上、下焦点分别为F,P,P是双曲线C的上支上的任 意一点（不在y轴上），PF2与x轴交于点A,△PAF的内切圆在边AF上的切点为B,若 |AB>2b,则双曲线C的离心率的取值范围是 1,) 【解析】设该内切圆在PF,PA上的切，点分别为D,E, 由切线长定理可得|AB=|AEl,|PD=|PE,|FB=|FD, 又|PF2-|PF1=2a,AF|=AF2,则|PA+|AFl-PF|=2a, 即2AB=2a,解得AB=a, 由AB到>26，即a>2b,得8<号所以e=√1+∈(1，号)。 1, x>0, 14.已知f(x)=0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+ -1,x<0, f(c·a)=0,则|a十b十c的取值范围是(1，w5)· 【解析】若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a·b=b·c=c·a=0, 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,b,c两两垂直，显然不成立； 数学试题（雅礼版）一17 故{f(a·b),f(b·c),f(c·a)}={-1,0,1 f(a·b)=1, 不妨设f(b·c)=0,则a·b>0,b·c=0,c·a<0, f(c·a)=-1, 不妨设b=(1,0),c=(0,1),a=(cos0,sin0),0∈[0,2π)， nec a+b+cl=(1+cos 0,1+sin 0)=(1+cos 0)2+(1+sin 0)2=3+2cos 0+2sin 0 √3+2Esin0叶)，由0e(⑧，2m,0计∈（得x,8, 则sim(0+）(-9,号)，22sim0+)e(-2,2), 故a+b+c∈(1，W5). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知函数f(x)=sin(az十p)(w>0,lp<)的图象关于点(-否，0)中心对称，且图象上相邻 两条对称轴的距离为。 (1)求函数f(x)的解析式； (2)设∈(-否，），且≠x,若f()=f(),求f十)的值. 【解析】1)因为函数f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为受， 所以写-吾，即T=,所以w-要=2，所以f)=sin(2x十p. …3分 又因为f()的图象关于点(-石，0)中心对称， 所以2×(-否)十9=kr,k∈Z,… 5分 所以p=号+kr,b∈Z,由pl<受可得p=否，所以f(x)=sin(2x+）: …6分 (2)因为x,x∈(-晋，5)，所以2+5∈(0，x),2+5∈(0，π). 因为f()=f(x2),所以点(0，f(),(x2,f(x2)关于对称轴对称，…8分 因为函数y=simx的图象在区间(0，)上的对称轴只有直线x=受， 2+5+2+ 所 2 交，所以x1十x2月 6 11分 所以1a+a=sn2X若+5)=sn等=号 13分 数学试题（雅礼版）一18 16.（本题满分15分) 已知抛物线E:y=2px(p>0)与双曲线号-首=1的渐近线在第一象限的交点为Q,且Q点 的横坐标为6. (1)求抛物线E的方程； (2)过点M(一3,0)的直线1与抛物线E相交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B',证明： 直线AB必过定点. 【解析】(1)设点Q的坐标为(6，yo),因为，点Q在第一象限，所以yo>0, 效南数写一益-1的新近镜方程为y一士，周为点Q在双商我的新近线上，所以一43。 所以点Q的坐标为(6,4√5)，… …3分 又点Q(6,4√3)在抛物线y2=2px上，所以48=2pX6,所以p=4,… 5分 故抛物线E的标准方程为y2=8x.…6分 (2)设直线AB的方程为x=my-3,联立y2=8x,消去x得y2-8my十24=0， 方程y2-8my十24=0的判别式△=64m2-96>0,即2m2-3>0,…8分 设A(1,y),B(ac2,y2),则y1十y2=8m,y1y2=24,设点B关于x轴的对称点为B'(2,一y2), 则直线AB的方程为y十2=%业(x一2)，…10分 c2一x1 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上，…12分 令y=0,得x=2X?二十2=4%十2y=当(m业-3)+2(my-3) 一y2一y1 y2十y1 y1十y2 _2m2y-3(h十32）=48m。-24m=3,…14分 y1十y2 8m .直线AB过定点(3,0).… 15分 17.(本题满分15分) 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=专AB=2,PC 2√2，E,F分别为直线DC,DP上的动点. (1)若异面直线AD与PC所成的角为45°，判断PB与AD是否具有垂直关 系并说明理由； (2)若PB=PA=2√2，EF∥PC,求直线AC与平面BEF所成角的最大值， 【解析】(1)取AB的中点G,连接CG,PG, 因为AB∥DC,AD=DC-2AB=2,所以AG-DC且AG∥DC, 所以四边形AGCD为平行四边形， 所以CG∥AD,所以∠PCG(或其补角)为异面直线AD与PC所成的角，…3分 ①当∠PCG=45°时，在△PCG中，PC=2W2,CG=2, 由余弦定理可知PG√2十(2,2}-2X2×2w2×号 2, 数学试题（雅礼版）一19 所以CG+PG2=PC,所以CG⊥PG,所以AD⊥PG, 又AD⊥AB,AB∩PG=G,AB,PGC平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以AD⊥PB. 5分 ②当∠PCG=135°时，假设AD⊥PB,则同理有AD⊥平面PAB, 因为PGC平面PAB,所以AD⊥PG,CG⊥PG, 这与∠PCG=135°相矛盾，故此时AD与PB不垂直. 综上所述，当∠PCG=45°时，AD⊥PB;当∠PCG=135°时，AD与PB不垂直.…7分 (2)由PB=PA=2W2,点G是AB中点，可得PGLAB,从而由GB=AB=2可得PG=2, 又GC=AD=2,PC=2√2，所以GC+GP2=8=PC,即PG⊥GC, 因为AD⊥AB,由(1)有GC∥AD,所以GB⊥GC, 所以GB,GC,GP两两互相垂直，… 9分 故可以G为坐标原点，GB,GC,GP分别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系. 故A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),AC=(2,2,0). 因为EF/PC,设平面BEF的法向量为n=(y,),则有m·P元=0， n·BE=0, A 设E(t,2,0),t≠0，则BE=(t-2,2,0),又PC=(0,2,-2),所以有 (t-2)x+2y=0, (2y-2x=0. 令x=2,则y=之=2-t,故平面BEF的一个法向量为n=(2,2一t,2一t),…12分 设直线AC与平面BEF所成的角为O, sin 0-lcos(AC,n-AC.n |AC·n 8-2t 4-t=1(t-4)2 2W2·√22-8t+122√e-4t+62N2-4t+6' 令1一4=，则≠-4，im0-元十6干6：当s=0时，sim9=0: 当s≠0或一4时，sin0= 3 √6(+4) 2 12 112 ,(当且仅当=-3,t= 3 1时取“=”)又0°≤90°，所以0°≤060° 综上所述，直线AC与平面BEF所成角的最大值为60°.…15分 18.（本题满分17分) 已知函数fx)=ln2产x十ax+b(x-1)9. (1)若b=0,且f(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3)若a=-2,证明：当b≥0时，f(x)>-2在区间(1,2)上恒成立. 数学试题（雅礼版）一20 【解析1K1b=0时，f)=lh2产x十az,其中x∈(0,2， 则)=+2+a=2+ae0,2 因为x(2-)≤2牛)°-1，当且仅当=1时等号成立， 故f(x)mm=2十a,而f(x)≥0成立，故a十2>≥0，即a≥-2， 所以a的最小值为一2.… 5分 (2)fx)=lh2产z十az+(x-1)°的定义城为0,2， 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点，P(m,n)关于(1，a)的对称，点为Q(2一m,2a一n), 因为Pm,m)在y=f(x)图象上，故n=ln2”nm十am+6(m-1D, (2-m)-l2a(2-m)+b(2-m-1)--[Inm+D(m-1)]+2a--w+2z, 所以Q(2一m,2a一n)也在函数y=f(x)的图象上， 由P的任意性可得函数y=f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a).…11分 (3)若a=-2,f(x)>-2即为1n2产x十2(1-x)+b(x-1)>0在区间(1,2)上恒成立， 设=x-1∈(0,1，则1n告2+6m>0在区间(0,1)上恒成立， 设ga)=ln2a+m4e0,1.则ga)=12-2+3r--32+30》 1-t2 当b≥0时，-3bt+2+3b>-3b+2+3b=2>0, 故g(t)>0恒成立，故g(t)在区间(0,1)上为增函数， 故g(t)>g(0)=0,即f(x)>一2在区间(1,2)上恒成立.… 17分 19.(本题满分17分) 设n∈N,数对(an,bn)按如下方式生成：(ao,b)=(0,0),抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面 朝上时，若a>bn,则(a+1,bn+1)=(an十1，bn十1)，否则(an+1,bn+1)=(an十1，bn);当硬币的反 面朝上时，若bn>an,则(an+1,bn+1)=(a,十1，bn十1)，否则(a+1,b+1)=(an,bn十1).抛掷n次 硬币后，记an=bn的概率为Pm.(提示：由已知可得|a,一bn≤1) (1)写出(a2,b2)的所有可能情况，并求P1,P2; (2)证明：P。一是等比数列，并求P; (3)设抛掷n次硬币后am的期望为Em,求Em. 【解析】(1)当抛掷一次硬币结果为正时，(a1,b)=(1,0); 当抛掷一次硬币结果为反时，(a1,b1)=(0,1) 当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，(a2,b2)=(2,1); 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，(a2,b2)=(1,1); 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，(a2,b2)=(1,1); 数学试题（雅礼版）一21 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，(a2,b2)=(1,2). 所以P=0,P=号-云 …5分 (2)由题知，am-bn≤1， 当an>bn,且掷出反面时，有(an+1,bn+1)=(a,bn十1)，此时an+1=bn+1, 当an<bn,且掷出正面时，有(an+1,ba+1)=(an十1，bn),此时an+1=bn+1, 所以P.+1=2Pa>b)+2P(a,<b,)=2[P(a>b.)+P(a<b)]=21-P.), 所以P1一3一2(P.-号》， 所以卫，司}是以B一}}为首项，为公比的等地数列， 所以P-号一号×(-》，所以P=号号×(-》 12分 (3)设a,>b,与a,<6.的概率均为Q,(2)知，Q.=(1-P,)=[1-(-号门 显然，E=1×号+0×号-分 ①若am>bu,则an=bn十1， 当下次投掷硬币结果为正面朝上时，an+1=an十l,当下次投掷硬币结果为反面朝上时，a+1=an; ②若an=b,则当下次投掷硬币结果为正面朝上时，an+1=an十1，当下次投掷硬币结果为反面朝上 时，an+1=an； ③若am<bn,则bn=an十1， 当下次投掷硬币结果为正面朝上时，a+1=am十1，当下次投掷硬币结果为反面朝上时，a+1=an十1. 所以a+1=a.时，期望不变，概率为2Q+2P.=[2+(一”门： a1-a,+1时，期望加1，概率为1-(2Q+P.)-1-[2+(-2门-[4-(-2)门 所以E1=E×[2+(-号)”门+(E+1)×{[4-(-2)”门=E+L4-(一号)门 故E=E.+4-（)]=E+[4-(-2》”]+4-（←2)]= =E+4-(-)门+…+[4-(-)] [4-(-2]+[4-(-2门++[4-（-2)厂门 割 号+一}”-日经检验，当a=1时也底立 E.=号n+g(-2）-g 17分 数学试题（雅礼版）一22