精品解析：广东省阳江市阳西县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2026届高三9月月考 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简求出，结合复数虚部定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以. z的虚部为. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式及绝对值不等式的解法，分别求得集合A、B，根据并集运算的定义，即可得答案. 【详解】由，可得，解得， 所以集合， 由，可得，解得， 所以集合， 所以. 故选：D 3. 已知是正数.命题“”，命题“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件结合函数单调性直接判断. 【详解】由是正数，，得，且，故，即充分性成立； 由命题，得，由函数的单调性可知，即是的充要条件， 故选：. 4. 医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.024 C. 0.02 D. 0.018 【答案】C 【解析】 【分析】设出相关事件，根据已知条件和全概率公式建立等式，即可求解. 【详解】设事件“居民患有这种地方性疾病”，事件“居民有良好卫生习惯”，事件“居民没有良好卫生习惯”. 由题意，， 由全概率公式，可得， 即，解得， 即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化为“齐次式”，代入求解，即可得到答案. 【详解】由，则. 故选：A. 6. 已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解得，即可利用面积公式求解. 【详解】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B 7. 在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定点轨迹，再利用等腰三角形性质求出最小值. 【详解】在正四棱柱中，取中点，连接， 由四边形是矩形，为棱的中点，得，平面即平面， 取中点，连接，则，平面， 平面，则平面，而，， 于是四边形是平行四边形，，又平面， 平面，则平面，而平面， 因此平面平面，而平面，则平面，即平面， 又点为侧面内一动点，则点的轨迹为线段， 由，得，， ，因此等腰的腰上的高等于， 故线段的长度的最小值为. 故选：D 8. 已知偶函数满足：，且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解. 【详解】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得的值，可判断B选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出的中点坐标，进而可得该点到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D选项. 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y轴正半轴上，则点错误； 由拋物线的定义可得，可得正确； 由可知，，可得，C正确； ∵的中点坐标为，则点到y轴的距离， ∴以为直径的圆与轴相切，D正确. 故选：BCD. 10. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为27 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差中项的性质判断AB；由选项A和等差数列的前n项和公式判断C；由等差数列的前n项和公式与等差中项判断D. 【详解】等差数列的前项和为，由， 得（*），即， 对于A，由上分析，异号，而，则数列是递减等差数列， 因此，故由（*）可得，A错误； 对于B，，则， 又，则，B正确； 对于C，由选项A知，，，又数列是递减等差数列， 则当时，取得最大值，C错误； 对于D，因，， 由选项A知，当时，，则当时，，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，存在增区间 C. 若只有一个极值点，则或 D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由题的零点个数转化为方程根的个数，令，求导由单调性可判断；对B，利用导数证明恒成立，即是减函数，得解；对C，结合选项B，可知，即在R上单调递减，无极值，可判断；对D，求导，判断单调性，作出的图象，观察图象可得. 【详解】对于A，当时，，令，得， 令，则，所以在R上单调递增， 所以至多有一个零点，即方程至多有一个根，故A错误； 对于B，， 令，得，设， 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又当时，，所以恒成立， 即时，是减函数，故B错误； 对于C，当时，由B知，，即，所以， 所以在R上单调递减，无极值，故C错误； 对于D，当时，，，由切线放缩知， ，即在R上单调递减，当时，，当时，， 可得的大致图象如下： 由图可知对任意实数，总存在实数，使得，故D正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量、满足，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模长公式展开求解即可. 【详解】因为，， 所以. 所以， 所以. 故答案为： 13. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上恰有3个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的图象变换求的图象，再利用整体代换结合正弦函数的图象和性质，利用函数的零点个数求的取值范围. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象， 再把纵坐标伸长到原来的3倍，可得函数的图象， 再把所得函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 结合的图象， 由在恰有3个零点， 可得. 故答案为： 14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有______种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用分步计数原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情况分类计算即可. 【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种， 故共有种涂法. ②先涂，共有， 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 故共有涂法种， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得； 【小问1详解】 解：由正弦定理及， 所以. 所以由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 解：因为，，由余弦定理可得， 可得，所以，， 可得，当且仅当时取等号， 又由三角形三边关系得， 所以的取值范围是. 16. 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远．每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落．组织推广龙舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神．某调查机构为调查广州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断广州市民是否关注龙舟比赛与性别有无关联； （2）将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机抽取3人，记为这3人中关注龙舟比赛的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 关注 不关注 合计 男 100 20 120 女 50 30 80 合计 150 50 200 0 1 2 3 与性别有关 （2）分布列为【解析】 【分析】（1）根据表格数据直接填列联表即可，接着计算卡方值，再根据小概率值的独立性检验思想方法即可求解； （2）先求出样本中广州市民关注龙舟比赛的频率得到，接着求出的可能取值以及相应的概率即可求得分布列，再由期望公式计算求解期望即可. 【小问1详解】 列联表补充如下： 关注 不关注 合计 男 100 20 120 女 50 30 80 合计 150 50 200 零假设：广州市民是否关注龙舟比赛与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可推断零假设不成立， 故认为广州市民是否关注龙舟比赛与性别有关； 【小问2详解】 样本中广州市民关注龙舟比赛的频率为， 则由题意可知，且的可能取值为0，1，2，3， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【小问1详解】 当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 18. 已知双曲线的离心率为2，点在上． （1）求的渐近线方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点． （i）求与之间的数量关系式； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出双曲线方程即可得渐近线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出中点的坐标，再利用即可与之间的数量关系式； （ii）先由（i）依次求出、，接着由即可求出，再由即可得解. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，所以， 又离心率为2，则， 联立，解得， 故双曲线方程为，渐近线方程为； 【小问2详解】 （i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的垂直平分线过点，则，整理得； （ii）由（i）知，则， 则，则，解得． 又 则． 又，则，即， 又，则的取值范围为． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成（A，B，C，，且），为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为），其中（，2，3，，n，）为多面体的所有与点M相邻的顶点，且平面，，，，遍历多面体的所有以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点满足 （1）判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值； （2）求几何体W的离散总曲率； （3）定义：若无穷等比数列的公比q满足，则的所有项之和.若球与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放入球，球，，球，，使得球（，）与W的四个侧面相切，且与球外切，求放入的所有球的表面积之和. 【答案】（1）正四棱锥，； （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，结合面面角的向量法求解. （2）利用多面体的离散总曲率的定义，列式计算即可. （3）利用正四棱锥内切球的性质求出球，进而探讨球与球的半径关系，再利用球的表面积公式及公比绝对值小于的无穷等比数列所有项和公式求解. 【小问1详解】 几何体为正四棱锥， 依题意，为， 当时，表示平面内的两组平行直线及 所围成的正方形，其顶点为， 当时，点，因此几何体为正四棱锥，如图： 由正四棱锥任意两侧面所在平面的夹角相等，不妨求面与面夹角余弦值， 平面方程为，则平面法向量为， 平面方程为，则平面法向量为， 因此， 所以几何体两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 依题意，， ，， ，， 所以几何体的离散总曲率为 . 【小问3详解】 设球与侧面相切于，连接，与交于，则， 连接，则，，， 设球半径为，则，，解得， 设球的半径为，则， 则，两式相减得，即， 因此数列是以1为首项，公比为的等比数列，则数列是以1为首项，公比为的等比数列， 而，则放入的所有球的表面积之和． 所以放入的所有球的表面积之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三9月月考 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是正数.命题“”，命题“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.024 C. 0.02 D. 0.018 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A. B. C. D. 7. 在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知偶函数满足：，且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 以为直径的圆与轴相切 10. 已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为27 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，存在增区间 C. 若只有一个极值点，则或 D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量、满足，，则___________． 13. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上恰有3个零点，则实数的取值范围为___________． 14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有______种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有______种不同涂法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的取值范围. 16. 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远．每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落．组织推广龙舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神．某调查机构为调查广州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断广州市民是否关注龙舟比赛与性别有无关联； （2）将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机抽取3人，记为这3人中关注龙舟比赛的人数，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 18. 已知双曲线的离心率为2，点在上． （1）求的渐近线方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点． （i）求与之间的数量关系式； （ii）求的取值范围． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成（A，B，C，，且），为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为），其中（，2，3，，n，）为多面体的所有与点M相邻的顶点，且平面，，，，遍历多面体的所有以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点满足 （1）判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值； （2）求几何体W的离散总曲率； （3）定义：若无穷等比数列的公比q满足，则的所有项之和.若球与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放入球，球，，球，，使得球（，）与W的四个侧面相切，且与球外切，求放入的所有球的表面积之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $