精品解析：辽宁省鞍山市华育外国语实验学校2024-2025学年九年级上学期期初学情调研数学试卷

九年级期初学情调研 数学学科 满分： 120分 时间： 120分钟 一、填空题（30分 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将化为最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 1、1、 C. 5、12、13 D. 9、12、20 4. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 矩形四个角都相等 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 菱形的对角线互相垂直 6. 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（ ） A. B. C. 6 D. 二、选择题（15分） 11. 若样本，，…，的平均数为6，方差为1，则对于样本，方差为______ 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值是__________A． 13. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 14. 如图， 在平行四边形 中，E，F分别为边的中点， 是对角线．下列说法正确的有__________． ①当时，四边形是菱形；②当 时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形；④当平分时，四边形是矩形． 15. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，________． 三、解答题（75分） 16. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 17. 如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． （1）方程组 的解是 ， ； ； （2）求代数式的值． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 19. 为了解学生体育中考选项测试的整体情况，以方便对学生进行针对性的指导训练，某校对八年级学生的各类项目进行了统一测试，以下是抽取的部分学生“长跑”项目测试成绩统计图（测试成绩满分是10分，不及格是6分）： 根据图中信息，解答下列问题： （1）样本中共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）抽取的这部分学生测试成绩的中位数是 ； （4）体育老师建议成绩7分及以下的学生选择“4分钟跳绳”项目．已知该学校八年级共有680人，在听从老师建议的情况下，请估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有多少人？ 20. 某地摊经营者以10元/双的价格购进一批棉袜子，销售一段时间后，剩下的部分打八折出售，已知该批袜子打折销售后全部卖完，销售总额（元）与销售量（双）之间的函数关系图象如图所示． （1）打折销售前，每双袜子的单价是______元； （2）打折销售后，求销售总额（元）与销售量（双）之间的函数表达式，并写出自变的取值范围； （3）求这批袜子销售完后获得的利润． 21. 如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． （1）当________________秒时，点到达点处； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 22. 正方形中， E是边上的点， 且，连接． （1）如图1，直接写出 ； （2）如图2， 连接， 证明： （3）如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 23. 人数版八年级下册数学教材第92页给出这样的结论：一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 【源于课本】 （1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数解析式为：__________； 【小组探究】 （2）我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数解析式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数解析式． 小组探究发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向右平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（__________），（__________），从而求出直线对应的函数解析式为：__________， ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图像关于轴对称，所得到的图象对应的函数解析式为：__________； 【学以致用】 （3）将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期初学情调研 数学学科 满分： 120分 时间： 120分钟 一、填空题（30分 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数必须非负，从而得不等式，求解不等式即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，需满足被开方数； 解此不等式得，对应选项C； 选项A未考虑2025的具体值，选项B漏掉了等号，选项D不等号方向错误，均不符合题意； 故选：C． 2. 将化为最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 1、1、 C. 5、12、13 D. 9、12、20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，不符合题意； C、， 能构成直角三角形，符合题意； D、， 不能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 4. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将各选项的坐标代入直线解析式，验证是否满足． 【详解】A、将代入解析式，得，与点的纵坐标相等，满足； B、将代入解析式，得，与点的纵坐标不相等，不满足； C、将代入解析式，得，与点的纵坐标不相等，不满足； D、将代入解析式，得，与点的纵坐标不相等，不满足， 故选：A． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 矩形四个角都相等 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的四条边相等 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定、对顶角、命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据矩形、正方形、菱形的判定、对顶角逐项判断即可得． 【详解】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真． 选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真． 选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真． 选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假． 故选：D． 6. 从班上名排球队员中，挑选6名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小林想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的应用，掌握中位数的概念是解本题的关键．根据题意，只要知道名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选， 则需要将名队员的身高进行降序排序，取前6名进行参赛， 根据中位数的概念，知道第6名的成绩， 即中位数即可判断小林是否入选， 故选：B． 7. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是的中点，， ∴， ∴， ∴的周长（）， 故选：D． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知，且，解不等式组即可求解． 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即；且图象与y轴交点位于y轴负半轴上，即， ∴， 解得：， 故选：D． 9. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差； ②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间； ③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点； ④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的坐标为， ④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 10. 如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，过点E作，且，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，连接，证明，则，证明是等腰直角三角形，得到，即点在的角平分线上运动，以为边，在右侧作正方形，连接，则，在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线,求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， 即点在的角平分线上运动， 以为边，在右侧作正方形，连接，则 在点E从点B运动到点C的过程中，点F运动的路径为正方形的对角线, ∵正方形的边长为3， ∴ ∴ 即点F运动的路径长为， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点在的角平分线上运动是解题的关键． 二、选择题（15分） 11. 若样本，，…，的平均数为6，方差为1，则对于样本，方差为______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差，本题解题的关键是看出两组数据之间的关系，特别是系数之间的关系，本题是一个基础题． 根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n,所得到的新一组数据的平均数就增加n,而方差不变． 【详解】解：样本，对于样本，，，…来说， 每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得：平均数较前增加2，数据之间的波动性不发生变化，即方差不变， 故答案为：1． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值是__________A． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，解题的关键是理解代入求值． 根据函数表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 14. 如图， 在平行四边形 中，E，F分别为边的中点， 是对角线．下列说法正确的有__________． ①当时，四边形是菱形；②当 时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形；④当平分时，四边形是矩形． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，斜边上的中线等知识点，根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，矩形的判定方法，逐一对各项进行分析即可得到本题答案．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即①错误； 当时，则：， ∴四边形是菱形，故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形，故③正确； 当平分时，如图，延长，交于点， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，故④正确 故答案为：②③④ 15. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点， ∴； 连接，则是等边三角形，即； ①当点P在边上时；如图， 当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点 ∴ ∴为直角三角形， 此时， ； ②当点P在边上时，如图，连接， 当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点时， ∴ ∴为直角三角形，此时； ③当点P在边上时，连接，如图， 当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ 综上所述，的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（75分） 16. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又 ，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得到且，再证明，得到，结合，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】略 17. 如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． （1）方程组 的解是 ， ； ； （2）求代数式的值． 【答案】（1），2，3 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，二次根式的运算，熟练掌握两直线的交点的横纵坐标即为由两个一次函数构成的二元一次方程组的解，是解题的关键： （1）求出点坐标，根据两直线的交点的横纵坐标即为由两个一次函数构成的二元一次方程组的解，以及待定系数法进行求解即可； （2）将的值代入，根据二次根式的性质和加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B， ∴方程组 的解是； 由图象可知：， 把，代入，得： ，解得：， 故答案为：，2，3 【小问2详解】 由（1）知：， ∴． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 19. 为了解学生体育中考选项测试的整体情况，以方便对学生进行针对性的指导训练，某校对八年级学生的各类项目进行了统一测试，以下是抽取的部分学生“长跑”项目测试成绩统计图（测试成绩满分是10分，不及格是6分）： 根据图中信息，解答下列问题： （1）样本中共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）抽取的这部分学生测试成绩的中位数是 ； （4）体育老师建议成绩7分及以下的学生选择“4分钟跳绳”项目．已知该学校八年级共有680人，在听从老师建议的情况下，请估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有多少人？ 【答案】（1）200 （2） 补全条形图如图： （3）9分 （4）估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有136人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用8分的人数除以所占的百分比，进行求解即可； （2）求出成绩为7分的人数，补全条形图即可； （3）根据中位数的定义，进行求解即可； （4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； 故答案为：200； 【小问2详解】 成绩为7分的人数为：； 【小问3详解】 由条形图可知，第100和第101个数据均为9分； 故中位数为9分； 故答案为：9分． 【小问4详解】 （人）； 答：估计选择“4分钟跳绳”项目的学生约有136人． 20. 某地摊经营者以10元/双的价格购进一批棉袜子，销售一段时间后，剩下的部分打八折出售，已知该批袜子打折销售后全部卖完，销售总额（元）与销售量（双）之间的函数关系图象如图所示． （1）打折销售前，每双袜子的单价是______元； （2）打折销售后，求销售总额（元）与销售量（双）之间的函数表达式，并写出自变的取值范围； （3）求这批袜子销售完后获得的利润． 【答案】（1）20 （2） （3）520元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）根据图象可知，打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元，列式计算即可； （2）设表达式为，根据折扣价等于售价乘以折扣，求出的值，将代入解析式，求解即可． （3）利用总销售额减去总成本进行求解即可． 从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知：打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元， ∴每双袜子的单价是元； 故答案为：20； 【小问2详解】 由图象可知，打折销售后，销售总额（元）与销售量（双）之间是一次函数的关系， 设， ∵打八折出售， ∴， ∴，把代入，得：， ∴， 当时，， ∴的取值范围为：； 【小问3详解】 由（2）可知，总销售额为1120元，共卖出60双袜子， ∴总利润为元． 21. 如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． （1）当________________秒时，点到达点处； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． （1）先根据菱形的性质求得，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）分点P在上和上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可； （3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵菱形，， ∴， ∴， ∴点到达点处时，． 【小问2详解】 解：①当点P在上时，即时， 如图：分别过D、E作，则， ∵在菱形中，． ∴，即， ∴， ∴的面积为，即； ②当点P在上时，即时， 如图：分别过E作，则 ∵在菱形中，，点为边的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴的面积为，即。 综上，关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：根据，画出函数图象如下： 由函数图象可得：的面积不大于2时自变量的取值范围为且． 22. 正方形中， E是边上的点， 且，连接． （1）如图1，直接写出 ； （2）如图2， 连接， 证明： （3）如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 【答案】（1） （2） 连接， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴； （3） 连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点； （1）在上截取，连接，易得，证明，得到，即可； （2）连接，易得，由（1）可得：，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，进而得到，，证明，得到，进而得到，三线合一即可得到． 【小问1详解】 解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，，即：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 人数版八年级下册数学教材第92页给出这样的结论：一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 【源于课本】 （1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数解析式为：__________； 【小组探究】 （2）我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数解析式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数解析式． 小组探究发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向右平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（__________），（__________），从而求出直线对应的函数解析式为：__________， ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图像关于轴对称，所得到的图象对应的函数解析式为：__________； 【学以致用】 （3）将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给结论作答即可； （2）①根据题意求出，，进而根据待定系数法求解即可；②同①取任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可； （3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围． 【详解】（1）解：由题干所给结论可知，将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数解析式为：， 故所得的函数解析式为：； （2）①解：沿着轴向右平移个单位长度得到对应点，沿着轴向右平移个单位长度得到对应点， 设直线对应的函数解析式为， 将，分别代入得：， 解得：， ∴直线对应的函数解析式为， ②解：取任取两点，， 关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， 设直线对应的函数解析式为， 将，分别代入得：， 解得：， ∴直线对应的函数解析式为， （3）解：， 函数与轴交点为，与轴交于点， 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，， 将其左平移个单位，再向上平移单位得到对应点的坐标分别为，， 设直线对应的函数解析式为， 将，，分别代入得：， 解得：， 函数的解析式为， ， 当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 当时，代入，得到， ， ，矛盾， 不合题意，舍去； 当，即时， ， 随的增大而增大， 当时，， ， ， 不合题意，舍去； 当，即时， 由图象知函数最小值为， ， ， ，， ∴， 当，， 当时，，解得， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $