精品解析：北京一六一中学2025一2026学年上学期开学测试九年级数学试卷

北京一六一中学2025—2026学年度第一学期开学测试 初三数学试卷 考生须知 1.本试卷共5页，满分100分，考试时间120分钟． 2.试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答． 4.考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、的值与的值一一对应，是函数，符合题意； B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意． 故选A． 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程移项，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 整理得：， 配方得：，即． 故选：B． 4. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图，可得答案． 【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意； B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意； C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意； D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键． 5. 若一次函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：当时，， 一次函数的随x的增大而减小， 则，解得． 故选：C ． 6. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD=90°， ∴BD=2OH， ∵OH=2， ∴BD=4， ∵OA=4， ∴AC=8， ∴菱形ABCD的面积= AC•BD= ×8×4=16． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 8. 如图，在正方形中，P为边上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，交延长线于点F．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①；过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 11. 如图，中，，，平分，于E交于D，F为的中点，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．根据平分，，证明，得出，，求出,进而可得是的中位线，再得出答案即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________ 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：2． 13. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴； ， ， ∴， 故答案为：，． 14. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键会是综合应用这些知识解题． 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面四个结论： ①，； ②不等式的解集是 ③当时，； ④； 其中正确的是______ 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数经过的象限，一次函数交轴的正半轴，可判断①；结合图象，可判断②，③；根据当时，可判断④． 【详解】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，一次函数交轴的正半轴，那么，故①错误； ②由图象可得：不等式的解集是，故②错误； ③当时，，那么，故③正确； ④当时，，那么有，即，故④正确； 故答案为：③④． 16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． 【答案】 ①. 26 ②. 43 【解析】 【分析】本题主要考查逻辑推理能力，根据题意找出最优方案是解题的关键． 要求最少时间，需要让甲连续完成4间客房的“打扫卫生”工作，此过程耗时（分钟），前3间客房的后续工作由乙、丙穿插完成，当甲在第36分钟完成第4间客房的“打扫卫生”后，甲、乙、丙三人可共同完成第4间客房的后续三项工作（整理床铺、更换客用物品、检查设备），由于三项工作可同时进行，耗时取决于用时最长的工作，即“整理床铺”的7分钟，因此，总的最少时间为甲连续打扫4间房的时间加上最后一间房后续工作中最长一项的时间，即（分钟）． 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作， 需要的时间为：（分钟）， 合作完成四间客房时，甲依次完成4间客房的打扫卫生，耗时（分钟）， 此期间，乙、丙两人负责前3间客房的其余工作， 当甲完成第4间房的打扫卫生后，甲、乙、丙三人共同完成第4间房的剩余三个步骤（整理床铺、更换客用物品、检查设备），耗时是这三个步骤中的最长时间，即7分钟， 故最少需要（分钟）． 故答案为：26；43． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解题即可； （2）利用因式分解法解题即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ， 18. 下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的中线． 作法：①如图，以点B为圆心，长为半径作弧；以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于下方的点E； ②连接，与交于点D．则线段即为所求中线． 根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明过程． 证明：连接，， ，， 四边形是________形（________）（填推理依据）， 为中点（________）（填推理依据）， 为的中线． 【答案】（1） 如图所示即为所求； （2） 平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分． 【解析】 【分析】题目主要考查基本作图及平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题中证明过程结合平行四边形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． （1）画出函数图象，并求此一次函数的表达式； （2）线段的长为 ；坐标原点O到直线的距离为 ． 【答案】（1） 函数图象如图所示： （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意得出，画出函数图象，然后利用待定系数法可以求得该函数的解析式； （2）根据勾股定理得出，再由三角形等面积法即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． ∴， 设一次函数解析式为 将代入解析式得： 解得： 一次函数解析式为 【小问2详解】 根据题意得：， ∴， 设原点O到直线的距离为h， 根据题意得：， 即， 解得：， 故答案为：；． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1） 证明：由题意可得： ， ， 此方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，整式的混合运算，完全平方公式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，于是结论得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，得，，由“方程的两个实数根都是整数”可得或，解方程即可求出的值，再结合“是正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， 方程的两个实数根都是整数， 或， 解得：或或或， 是正整数， 或． 21. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，根据三角形的中位线定理得出，则，即可求证四边形是菱形； （2）连接交于点G，得出，根据菱形的性质得出，，，则，先求出，最后根据勾股定理得出即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵D，E分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点G， ∵，D，E分别是，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）若函数与函数的图象的交点位于直线的左侧，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到当直线经过点时，，当直线与直线平行时，，结合图象得出答案即可． 【小问1详解】 解：一次函数与的图象交于点， ∴把点代入得，， 解得，， ∴， 再把点代入得，， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得到，， ∴函数的解析式为， 当时，，即， 把点代入得，， 解得，， ∴当直线经过点时，，当直线与直线平行时，， 如图所示： ∴当或或时，函数与函数的图象的交点位于直线的左侧． 23. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． （1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （2）求该一次函数的解析式； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①内（不含边界）的整点个数为______个； ②将直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴、轴分别交于点和点，当内（不含边界）有个整点时，的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）一次函数的解析式 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象与轴、轴分别交于点、画图像即可解答； （2）利用待定系数法设列解代即可解答； （3）先根据题目定义可知横、纵坐标都是整数的点叫做整点，最后利用网格及图象即可解答． 【小问1详解】 解；∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点、， ∴如图所示：直线即为所求， 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴把、代入得， ， ∴， ∴一次函数的解析式； 【小问3详解】 解：根据图象可知：内不含边界的整点个数为个； 故答案为：； 如图所示：当内不含边界有个整点时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点法画一次函数图象，待定系数法求一次函数的图象，网格与一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键． 24. 为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）； b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是 　 　；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是 　 　； （3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品． 【答案】（1） 补全a中频数分布直方图如下： （2）88.5；94； （3）估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用样本容量减去其他四组的频数，可得“”的频数，进而补全a中频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）用2000分别乘样本中A，B两个小区大于或等于90分所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，A小区“”的频数为：； 【小问2详解】 A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：； B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94． 故答案为：88.5；94； 【小问3详解】 （份）， 答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品． 25. 学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 （1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位） （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）3.6； （2） 将表格数据描点，并连线，得 （3）①；②（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查函数与图象，从数据中发现规律，得到函数关系是解题的关键． （1）观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，据此即可解答； （2）将表格数据描点，并连线即可解答； （3）①观察函数图象，得到体积相差最大时所对应的自变量的值即可解答； ②观察函数图象，得到1号装置停止加工，2号装置大约在什么时刻得到和1号装置相同的体积，减去①中得到的时间即为2号装置再加工需要的时间． 【小问1详解】 解：观察表格可发现，当x每增加时，的值增加， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ①观察函数图象可得，当时，实验液体的体积相差最大． ②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等， ∴2号装置再加工的时间为：（小时）． 故答案为：①；②（答案不唯一） 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案； （2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数的图象与函数上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，函数表达式分别为，. 根据题意，得， 解得， . 【小问2详解】 解：联立，解得， 那么， 由题意可知，时，在上，那么有： 当时，代入，得到. 当在上时，代入，. ， ， ； 当在上时，代入，． ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A 顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当P是中点时，连接，求证：； （2）过点Q作直线，交直线于点M，在射线上取一点N，使得，连接．请补全图2，直接写出的大小并证明． 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，，过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、 （1）由题意易得，然后可证，然后问题可求证； （2）按题意画出图形，连接，作，交于点D，由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得如图： 连接，作，交于点D， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点， ∴， ∴， 由三角形内角和可知， ∴，即． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据定义，计算确定即可． (2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可． (3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可． 【小问1详解】 ∵，，，， ∴，，， ∴点P的等积点是， 故答案为：． 【小问2详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． 【小问3详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学2025—2026学年度第一学期开学测试 初三数学试卷 考生须知 1.本试卷共5页，满分100分，考试时间120分钟． 2.试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3.在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答． 4.考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 5. 若一次函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 8. 如图，在正方形中，P为边上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，交延长线于点F．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. 仅有② B. 仅有③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 11. 如图，中，，，平分，于E交于D，F为的中点，则________． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________ 13. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示： 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队 170 175 173 174 183 则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）． 14. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是______ 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面四个结论： ①，； ②不等式的解集是 ③当时，； ④； 其中正确的是______ 16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的中线． 作法：①如图，以点B为圆心，长为半径作弧；以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于下方的点E； ②连接，与交于点D．则线段即为所求中线． 根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明过程． 证明：连接，， ，， 四边形是________形（________）（填推理依据）， 为中点（________）（填推理依据）， 为的中线． 19. 平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2． （1）画出函数图象，并求此一次函数的表达式； （2）线段的长为 ；坐标原点O到直线的距离为 ． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 21. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）若函数与函数的图象的交点位于直线的左侧，直接写出的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． （1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象； （2）求该一次函数的解析式； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①内（不含边界）的整点个数为______个； ②将直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴、轴分别交于点和点，当内（不含边界）有个整点时，的取值范围是______． 24. 为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）； b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是 　 　；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是 　 　； （3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品． 25. 学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下： 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.4 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6 （1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位） （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决问题： 若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工． ①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位） ②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位） 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． （1）当时，求点的坐标； （2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A 顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当P是中点时，连接，求证：； （2）过点Q作直线，交直线于点M，在射线上取一点N，使得，连接．请补全图2，直接写出的大小并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $