精品解析： 北京市师达中学2025～2026学年八年级上学期开学考数学试卷

2025-2026学年度第一学期水平调研 八年级数学 2025.09 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点D在上，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，，与的平分线交于点P，过点P作于点D，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上求作一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，，则___________． 12. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 13. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 14. 若，则___________. 15. 如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为_______________． 16. 如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 17. 如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 三、解答题（19题16分，20题5分，21题6分，22题4分，23题5分，24题6分，25，26每题7分，共56分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知：，，，，求证： （1）； （2）； 22. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 23. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 24. 如图，已知，，，点B，D，E在同一条直线上． （1）求证：； （2）写出、、之间的数量关系，并证明； （3）当时，直接写出的度数． 25. 如图，已知中，，，点D为边上的点，连接，，点D关于的对称点为E，点E关于的对称点为G，线段交于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． （1）在这四个点中，___________是线段的“方田点”； （2）点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； （3）点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期水平调研 八年级数学 2025.09 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4＋2＋4＝10（cm）； 当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，所以此三角形不存在． 故选： C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，合并同类型，幂的乘法，同底数幂除法，依次计算，即可求解， 本题考查了同底数幂乘法，合并同类型，幂的乘法，同底数幂除法，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：A、，不符合题意， B、，不符合题意， C 、，符合题意， D、，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5. 如图，点D在上，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角的和差推出，，利用证明，根据全等三角形的性质定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 6. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故选A． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 9. 如图，在中，，与的平分线交于点P，过点P作于点D，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义即可求出；过点P作于点E，作于点F，连接，根据角平分线性质和判定可得，进而根据面积关系求得③正确． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、 ， ，故①正确． 过点P作于点E，作于点F，连接， ∵， ∴四边形是矩形 ∵、分别是、的平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，故②正确． ∵， ∴ ∴， ∴，故③正确． 综上所述：正确的结论是①②③， 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握掌握角平分线性质得出，利用三角形面积和关系求出③正确． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上求作一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—线段的垂直平分线与圆，一次函数，理解题意，画出图形是解决本题的关键．首先作线段垂直平分线，即可得垂直平分线与坐标轴的交点个数，再分别以点、为圆心，长为半径画圆，即可得与坐标轴的交点个数，据此即可判定． 【详解】解：如图：作线段垂直平分线，分别以点、为圆心，长为半径画圆， 点，点， ，， 与轴没有交点，与轴没有交点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设与轴的两个交点分别为、，过点作轴于点， ， ， ，， ， ， ， 在中，当时，， 在直线上，即点与点、不等构成三角形， 满足条件的点共有个， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 13. 比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的大小比较，先把两个数变形得出，，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 利用等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 故答案为：4． 16. 如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等， 即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 17. 如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：过P作于E， ∵，平分 ∴， ∴， ∵交于点C， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等． 18. 在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作． （1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得； （2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________． 【答案】（1）不存在； （2）5． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键． （1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断； （2）根据平移性质和图象数形结合即可． 【小问1详解】 解：设P点到的距离为h， 则， 由题意知，所以， 又因为点P是线段上一动点，h不可能为1， 所以不存在一点，使得； 故答案为：不存在； 【小问2详解】 由（1）知，只要,则， 又因为， 所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5． 故答案为：5． 三、解答题（19题16分，20题5分，21题6分，22题4分，23题5分，24题6分，25，26每题7分，共56分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先分别进行同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）原式先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （3）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再进行单项式乘以单项式即可得出结论； （4）原式先分别进行单项式乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，48 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式、积的乘方法则以及合并同类项法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b的值，代入计算，得到答案． 【详解】解： ＝ ＝， ∵，，， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， 解得：a＝2，b＝﹣1， ∴原式＝﹣6××（﹣1）＝48． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 21. 已知：，，，，求证： （1）； （2）； 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2） 证明：∵，，， ∴， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示： （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】略 24. 如图，已知，，，点B，D，E在同一条直线上． （1）求证：； （2）写出、、之间的数量关系，并证明； （3）当时，直接写出的度数． 【答案】（1）见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求证； （3）由平行线的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，已知中，，，点D为边上的点，连接，，点D关于的对称点为E，点E关于的对称点为G，线段交于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查的是作点关于直线的对称点、轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 根据题意补全图形即可． 根据轴对称的性质可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 设交于点H，根据，得到 求出 然后根据E，G关于AC对称即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 由轴对称性可知，， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ， 理由：设交于点H， ∵， ∴ 又∵点E，G关于对称， ∴， ∴ ． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． （1）在这四个点中，___________是线段的“方田点”； （2）点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； （3）点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $