专题2.5 一元二次不等式恒成立与存在性问题（4类必考点）-2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题2.5 一元二次不等式恒成立与存在性问题 【方法梳理】 1 【一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】 2 【一元二次不等式在指定范围内的恒成立问题】 4 【一元二次不等式在指定范围内的有解问题】 5 【一元二次不等式恒成立与存在性综合问题】 5 【方法梳理】 1、解决一元二次不等式恒成立与存在性问题的常用方法： （1）参变分离法： （i）通过变形，将参数与变量分离开来，转化为“参数与关于变量的函数的不等关系或基本不等式的形式”； （ii）分析函数的最值或取值范围，间接求出参数的取值范围： ①对任意的恒成立； 存在有解； 对任意的无解； ②对任意的恒成立； 存在有解； 对任意的无解； ③已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）判别式法： ①恒成立的充要条件是； ②恒成立的充要条件是； 注意没有注明是一元二次方程时，需要分和两种情况进行讨论. （3）更换主元法： 解决恒成立问题一定要清楚谁是主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的取值范围是取值范围的子集 ． 【一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】 1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）设集合，对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 5．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 7．（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【一元二次不等式在指定范围内的恒成立问题】 1．（25-26高一上·广东江门·阶段练习）当时，不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，有解”是假命题，则m的取值范围是 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（25-26高一·全国·课后作业）若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 6．（19-20高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，若恒成立，求a的取值范围. 【一元二次不等式在指定范围内的有解问题】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 5．（25-26高一上·广西桂林·阶段练习）当时，不等式有解，则的取值范围是 . 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【一元二次不等式恒成立与存在性综合问题】 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数． (1)若对，有成立，求实数a的取值范围； (2)若，都有，求实数a的取值范围． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知二次函数及一次函数，若对使得成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，，. 若对任意，任意，使得不等式成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 一元二次不等式恒成立与存在性问题 【方法梳理】 1 【一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】 2 【一元二次不等式在指定范围内的恒成立问题】 5 【一元二次不等式在指定范围内的有解问题】 9 【一元二次不等式恒成立与存在性综合问题】 12 【方法梳理】 1、解决一元二次不等式恒成立与存在性问题的常用方法： （1）参变分离法： （i）通过变形，将参数与变量分离开来，转化为“参数与关于变量的函数的不等关系或基本不等式的形式”； （ii）分析函数的最值或取值范围，间接求出参数的取值范围： ①对任意的恒成立； 存在有解； 对任意的无解； ②对任意的恒成立； 存在有解； 对任意的无解； ③已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）判别式法： ①恒成立的充要条件是； ②恒成立的充要条件是； 注意没有注明是一元二次方程时，需要分和两种情况进行讨论. （3）更换主元法： 解决恒成立问题一定要清楚谁是主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的取值范围是取值范围的子集 ． 【一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】 1．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 2．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）设集合，对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题，化简集合，根据真子集定义判断. 【详解】由题意可知Q满足或，即或，解得，故. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 故答案为： 5．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由恒成立的等价条件为求解即可. 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 6．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可知，求解不等式即得参数范围. 【详解】因为不等式的解集为R， 则， 即，解得， 故实数的取值范围为. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可； （2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可. 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 【一元二次不等式在指定范围内的恒成立问题】 1．（25-26高一上·广东江门·阶段练习）当时，不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·期中）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为时恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 有，当且仅当时取等号， 故的取值范围是. 故答案为： 3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，有解”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】{a|或} 【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解． 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为{a|或}， 故答案为：{a|或}． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 5．（25-26高一·全国·课后作业）若不等式对满足的所有都成立，求的范围. 【答案】 【分析】将视为主元，将原不等式化为来求解. 【详解】改变主元，将视为主变元，将原不等式化为， 令，则当时，恒成立， 只需，即， 解得，得， 故这个不等式组得的取值范围是. 6．（19-20高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，若恒成立，求a的取值范围. 【答案】 【分析】分三种情况讨论对称轴的位置，得到函数的最大值，利用最大值不大于零列不等式求得结果. 【详解】，图象开口向下，对称轴为， 当时，y在单调递减，当时，， 解得，即； 当时，y在上先增后减，当时，， 解得，即； 当时，y在单调递增，当时，， 解得，即， 综上所述， 【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 【一元二次不等式在指定范围内的有解问题】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】根据特称、全称命题为假命题，则其否定为真命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即可. 【详解】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题， 由， 即， 令， 由二次函数的性质知，函数的开口向上，对称轴为， 故时，， 因此可得， 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，参变分离，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，， 依题意，，成立， 而， 当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高一上·广西桂林·阶段练习）当时，不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最小值即可得解. 【详解】因为在区间内有解， 所以在区间内有解， 令，则开口向上，对称轴为， 故， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案. 【详解】若是假命题，则为真命题，故， 只需， 设， 二次函数开口向上，对称轴为，其中， 故，所以, 故答案为: 【一元二次不等式恒成立与存在性综合问题】 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可得解集为空； （2）由题意得不等式对于任意实数恒成立，根据判别式的符号求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 由于， 所以不等式的解集为. （2）由题意得不等式对于任意实数恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数． (1)若对，有成立，求实数a的取值范围； (2)若，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判别式大于零即可；（2）讨论对称轴和变量的范围之间的关系，求出函数的最小值，令最小值大于，解出不等式即可. 【详解】（1）因为， 则， 解得或， 故实数的范围为. （2）由题可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时， 时，， 则恒成立； 当，即时， 时，， 则，解得 当，即时， 时，， 则，不成立， 综上可知，实数a的取值范围为. 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知二次函数及一次函数，若对使得成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】根据任意性、存在性的定义，结合一次函数、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，，要想对使得成立，只需， 二次函数的对称轴为：，且开口向上， 当时，当时，， 即，而，显然不可能； 当时，当时，， 即，显然满足，所以； 当时，当时，， 即，而，显然不可能， 综上所述：实数的取值范围为 【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴的位置，结合单调性分类讨论是解题的关键. 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，，. 若对任意，任意，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】把问题转化，，对于，对称轴， ；对于，对称轴，对称轴与区间端点值的大小进行讨论即可得出结论. 【详解】解：若对任意，任意，使得不等式成立， 即只需满足，， ，开口向上，对称轴， ∴， ， 对称轴， ① ， 即时，在上满足y随x的增大而增大， 恒成立； ② ， 即时， ，， ∴ ， 故：； ③ ， 即时， ，， ∴， 解得：， 综上：实数的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $